¿Qué significa que una variedad esté definida sobre un campo numérico? $K$

Question

Digamos que tengo la variedad afín $X=\{y^2=\sqrt2x\}\subset\mathbb{C}^{2}$ . Claramente $X$ es "definible" sobre el campo $K=\mathbb{Q}(\sqrt2)$ y no sobre $\mathbb{Q}$ . Mi pregunta es, ¿cómo defino esto en forma de geometría algebraica?

A primera vista parece algo así como "existe un morfismo $X\to spec(K)$ que es localmente de tipo finito", pero realmente esta definición no parece tan buena, o incluso muy comprensible.

Mi pregunta es:

Dada una variedad general (esquema) $X$ ¿qué significa en términos geométricos algebraicos que $X$ es "definible" sobre $K$ ?

Answer 1

Dado un esquema $X\to \operatorname{Spec}L$ sobre un campo $L$ es definible sobre $K\subset L$ si existe otro régimen $Y\to \operatorname{Spec}K$ tal que el cambio de base $L\times_K Y$ es isomorfo a $X$ .

Por ejemplo $X$ es afín, de la forma $$X=\operatorname{Spec} \frac{\mathbb C[x_1,\ldots ,x_n]}{(f_1,\ldots ,f_m)}.$$ Si todos los coeficientes del $f_i$ pertenecen a un campo más pequeño $K$ entonces $X$ se define sobre $K$ ya que podemos tomar $$Y=\operatorname{Spec} \frac{ K[x_1,\ldots ,x_n]}{(f_1,\ldots ,f_m)}.$$ Observe que $Y$ no tiene por qué ser único. Por ejemplo, el círculo $\{x^2+y^2 = 1\}\subset \mathbb C^2$ es el cambio de base de ambos $\operatorname{Spec} \frac{ \mathbb Q[x, y]}{(x^2+y^2-1)}$ y $\operatorname{Spec} \frac{ \mathbb Q[x, y]}{(x^2+y^2+1)}$ que no son isomorfas, ya que la primera tiene $\mathbb Q$ puntos y el segundo no.