Motivación del estudio de la topología en el análisis real

Question

Soy un estudiante de ingeniería que trata de resolver algunos Análisis Real para aprender a escribir pruebas (necesario para mi tesis doctoral) y sólo para reavivar mis fuegos de Cálculo. Por lo que veo, el Análisis Real es el estudio de los fundamentos del Cálculo y la "construcción" del Cálculo desde cero.

¿Por qué es necesaria la topología en el esfuerzo? Mi cerebro de ingeniero no da abasto con los conjuntos compactos y las subcubiertas finitas. Simplemente no puedo imaginar lo que está pasando sin pasar 2 horas y 4 cafés.

El único "uso" de esto que he visto hasta ahora es para demostrar que todas las secuencias de Cauchy son convergentes en ciertos espacios.

¿Puedo saltarme la topología? En caso afirmativo, ¿qué debo hacer como mínimo?

Answer 1

Deberías conocer los siguientes teoremas de cálculo sobre $\Bbb{R}$ :

1. Teorema del valor extremo: Una función continua $f$ en un intervalo acotado cerrado alcanza su valor máximo y mínimo en dicho intervalo.

2. Una función continua en un intervalo cerrado acotado es uniformemente continua

3. Teorema del valor intermedio: Sea $f$ sea una función continua sobre $\Bbb{R}$ tal que hay números reales $a,b$ para lo cual $f(a) < 0$ y $f(b) > 0$ . Entonces existe $c \in (a,b)$ tal que $f(c)= 0$ .

Los dos primeros teoremas hacen uso de una propiedad topológica conocida como compacidad . El Teorema de Heine - Borel es el que dice que en $\Bbb{R}$ con métrica euclidiana, ser cerrado y acotado equivale a ser compacto. El número 3 hace uso de la propiedad topológica de que $\Bbb{R}$ con la métrica euclidiana está conectada.

El número 2 es especialmente importante para saber por qué una función continua en un intervalo acotado cerrado es integrable de Riemann; ¡esto debería ser suficiente motivación para que estudies topología!

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Creo que el siguiente es un buen ejemplo de cómo se ponen las cosas de complicadas en topología. En un espacio métrico (de hecho, en un espacio topológico que sea al menos $T_2$ ) esto no puede ocurrir pero:

Ponga la topología trivial en $\Bbb{R}$ la familia $A_n = (0,\frac{1}{n})$ es una colección contable de conjuntos compactos no vacíos tal que la intersección de cualquier subcolección finita es no vacía, pero claramente

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n = \emptyset .$$

Answer 2

Un uso excelente de la compacidad es demostrar que las funciones continuas pueden integrarse en un intervalo cerrado acotado (o en una caja cerrada acotada en dimensiones superiores). Se trata de un hecho fundamental que resulta útil en Cálculo.

Y personalmente encuentro que muchas pruebas en análisis real van mucho más suave, y son realmente más fáciles de entender, una vez que dejas de hablar de $\epsilon$ y $\delta$ 's y hablar de barrios en su lugar. Por supuesto, "más fácil de entender" requiere que te hayas acostumbrado al lenguaje más abstracto.

Por último, hay situaciones en las que ya no se tienen nociones razonables de distancia, pero sí de topología.
Sin embargo, no tengo ni idea de si esto se plantea realmente en ingeniería.

Answer 3

Siendo ingeniero sé que debes ser muy práctico, y las otras respuestas dan algunos buenos usos prácticos para el material que has mencionado, pero quería lanzar otro ángulo:

La propia experiencia de aprendizaje -y no sólo el contenido -- ¡es valioso!

Incluso las personas de pensamiento práctico se beneficiarían de pensar en este tipo de matemáticas como un levantamiento de pesas mental. ¿Qué músculo mental fortalecen las matemáticas? Bueno, al menos el pensamiento lógico, la creatividad y la capacidad de aprender conceptos desconocidos (entre otras cosas). ¡Podemos afirmar sin temor a equivocarnos que todos estos son rasgos valiosos de los ingenieros! :)

Por eso me preocupa un poco oír "es que no puedo" en este contexto. Estoy absolutamente seguro de que desarrollarás tu comprensión (aunque cuidado con subestimar el tiempo que te llevará) y al final del día serás una persona un poco más inteligente y genial por haber aguantado y superado el desafío mental.

Answer 4

La parte de la topología que es útil en el análisis real se denomina topología del conjunto de puntos . Los tres temas relevantes de esa parte de la topología son 1) la continuidad, que ya has tenido en el análisis real "regular", 2) la conectividad y 3) la compacidad.

Estos son los temas de topología que probablemente sean más útiles para un ingeniero.