En su famosa carta de 1940 desde la cárcel de Rouen a su hermana Simone, André Weil habla de la analogía entre los campos de números y los campos de funciones (en una variable) sobre campos finitos, y de la analogía entre estos campos de funciones y los campos de funciones sobre $\mathbf{C}$ (o curvas compactas conexas equivalentes sobre $\mathbf{C}$ ). Esta carta se reproduce en su Artículos científicos y se ha traducido recientemente al inglés ( Avisos de la AMS 52 (3) 2005 ).
Pregunta ¿Cuál es el análogo de campo numérico del teorema de Narasimhan-Seshadri ( Haces vectoriales estables y unitarios sobre una superficie compacta de Riemann . Ann. de Matemáticas (2) 82 1965 540-567) ?
Anexo (en respuesta al comentario de Felipe) El artículo original de Narasimhan y Seshadri está disponible en JSTOR . Un extracto de su introducción : D. Mumford ha definido la noción de haz vectorial estable sobre una superficie compacta de superficie de Riemann $X$ y demostró que el conjunto de clases de equivalencia de estables (de rango y grado fijos) tiene la estructura natural de una variedad algebraica no sinular cuasi-proyectiva, variedad algebraica [13]. En este trabajo demostramos que, si $X$ tiene género $\ge2$ los haces vectoriales estables son precisamente los haces vectoriales holomorfos en $X$ que surgen de ciertos irreducible unitario representaciones de grupos fucsianos convenientemente definidos que actúan sobre el disco unitario y que tienen $X$ como cociente (Teorema 2, $\S12$ ). [...] Un caso particular de nuestro resultado es que un haz vectorial holomorfo de grado cero en $X$ es estable si y sólo si surge de un unitario irreducible irreducible del grupo fundamental de $X$ . Como consecuencia se ve que un haz vectorial holomorfo sobre $X$ surge de una representación unitaria de la grupo fundamental de $X$ si y sólo si cada uno de sus componentes indecomponibles es de grado cero y estable.
Su principal resultado lo resumen Atiyah (MR0170350) y Le Potier ( Seminario Bourbaki - Conferencia 737 ) como sigue :
Atiyah: Sea $X$ sea una superficie compacta de Riemann. Si $W$ es un haz vectorial (holomorfo) de rango $n$ en $X$ definimos $d(W)$ es el grado del haz de líneas asociado $\bigwedge^n W$ . Un fardo $W$ es estable, en el sentido de Mumford, si $(\mathrm{rank}W)d(V)<(\mathrm{rank}V)d(W)$ para todos los subconjuntos adecuados $V$ de $W$ . Según Mumford [Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Estocolmo, 1962), pp. 526--530, Inst. Mittag-Leffler, Djursholm, 1963], el conjunto de clases de isomorfismo de haces estables de rango $n$ y grado $q$ en $X$ tiene una estructura natural de variedad algebraica. En este trabajo los autores dan una caracterización completa de los haces estables en términos de representaciones unitarias de un cierto grupo discreto (siempre que el género $X$ $2$ ).
Su teorema principal es el siguiente. Dados los números enteros n y q, con $-n< q \le0$ podemos elegir (i) un grupo discreto $\pi$ actuando sobre una superficie de Riemann simplemente conexa $Y$ con $Y/\pi=X$ y con el mapa $p:Y\to X$ ramificándose en un solo punto $x_0\in X$ ii) una representación $\tau:\pi_{y_0}\mathrm{GL}(n,\mathbf{C})$ del grupo de isotropía de $\pi$ en un punto $y_0\in p^{1}(x_0)$ por escalares tales que se cumpla lo siguiente Un haz vectorial sobre $X$ de rango $n$ y grado $q$ es estable si y sólo si la gavilla correspondiente es isomorfa a una gavilla de la forma $p_^\pi(\mathbf{V})$ donde $\mathbf{V}$ denota el $\pi$ -de mapas holomorfos $Y\to V$ , $V$ es una representación unitaria irreducible de $\pi$ coincidiendo con $\tau$ cuando se limita a $\pi_{y_0}$ , $p_$ es el functor imagen directa y $p_^\pi$ denota la subserie invariante bajo $\pi$ . Además, dos de estos haces estables son isomorfos en $X$ si y sólo si las correspondientes representaciones unitarias de $\pi$ son equivalentes.
Debe observarse que la desigualdad $-n< q \le0$ no presenta ninguna restricción esencial, ya que siempre puede realizarse tensando con un haz de líneas $L$ y, por otra parte, la definición de haz estable muestra que $W$ es estable si y sólo si $W\otimes L$ es estable.
Le Potier: En 1965 Narasimhan y Seshadri establecieron una correspondencia biyectiva entre el conjunto de clases de equivalencia de representaciones unitarias irreducibles del grupo fundamental $\pi$ de una superficie compacta de Riemann $X$ y el conjunto de clases de isomorfismo de fibras vectoriales estables de grado $0$ en $X$ asocian a una representación $\rho:\pi\to\mathbf{U}(r)$ la fibra vectorial holomorfa $E_\rho$ défini par $$ E_\rho=\tilde X\times_\pi\mathbf{C}^r $$ où $\tilde X$ es el revulsivo universal de $X$ y donde el producto anterior es el cociente de $\tilde X\times\mathbf{C}^r$ par l'action de $\pi$ definida por $(\gamma,(x,v))\mapsto(x\gamma^{-1},\gamma v)$ pour $\gamma\in\pi$ et $(x,v)\in \tilde X\times\mathbf{C}^r$ .
