Cada barrio de $1$ es de la forma $U\setminus \mathbb{N} \cup \{1\}$ ?

Question

De Topología sin lágrimas:

Sea $X$ sea un conjunto $(\mathbb{R}\setminus\mathbb{N})\cup {1}$ .

Definir una función $f:\mathbb{R}\to X$ : \begin{equation} f(x) = $$\begin{cases} x & \text{if $x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$}\\ 1 & \text{if $x \in \mathbb{N}$} \end{cases}$$ \fin

Definir mejor la topología $\tau$ en $X$ por

$$\tau=\{U:U\subseteq X \text { and } f^{-1}(U) \text{ is open in the euclidean topology on } \mathbb{R} \}$$

Entonces demuéstralo:
1) $f$ es continua.

2)Toda vecindad abierta de $1$ en (X, \tau ) es de la forma $(U\setminus \mathbb{N}) \cup \{1\}$ donde $U$ está abierto en $\mathbb{R}$

No entiendo cómo cada barrio abierto de $1$ en $(X,\tau)$ de forma $U\setminus \mathbb{N} \cup \{1\}$

Porque este barrio abierto será también un conjunto abierto en $(X,\tau)$ Y según yo, si un $S\subseteq X$ contiene $1$ entonces $f^{-1}(S)=\{x\in \mathbb{R}:f(x)\in S\}$ también contendrá $\mathbb{N}$ (ya que para $\forall x \in \mathbb{N},f(x)=1\in S)$ Entonces, ¿cómo $f^{-1}(S)$ será abierta en topología euclidiana??Como $\mathbb{N}$ no es abierta en topología euclidiana en \mathbb {R}??

Y por lo tanto, según yo, ninguno de los conjunto abierto en $(X,\tau)$ debe contener $1$

Gracias de antemano...

Answer 1

Tiene razón sobre $f^{-1}(\{1\})$ es $\mathbb N$ . Por poner un ejemplo $S\subset X$ abierto, elige un barrio $U_n$ para cada $n\in\mathbb N$ . Sea $S_0=\bigcup_{n\in\mathbb N}U_n$ y $S=(S_0\setminus\mathbb N)\cup\{1\}$ . Entonces tenemos $f^{-1}(S)=S_0$ abierto en $\mathbb R$ .

Ahora, ¿puedes demostrar que todos los conjuntos abiertos en $X$ que contiene $1$ ¿Se parece a eso?