De Topología sin lágrimas:
Sea $X$ sea un conjunto $(\mathbb{R}\setminus\mathbb{N})\cup {1}$ .
Definir una función $f:\mathbb{R}\to X$ : \begin{equation} f(x) = \begin{cases} x & \text{if $x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$}\\ 1 & \text{if $x \in \mathbb{N}$} \end{cases} \fin
Definir mejor la topología $\tau $ en $X$ por
$$\tau=\{U:U\subseteq X \text { and } f^{-1}(U) \text{ is open in the euclidean topology on } \mathbb{R} \}$$
Entonces demuéstralo:
1) $f$ es continua.
2)Toda vecindad abierta de $1$ en (X, \tau ) es de la forma $(U\setminus \mathbb{N}) \cup \{1\}$ donde $U$ está abierto en $\mathbb{R}$
No entiendo cómo cada barrio abierto de $1$ en $(X,\tau)$ de forma $U\setminus \mathbb{N} \cup \{1\}$
Porque este barrio abierto será también un conjunto abierto en $(X,\tau)$ Y según yo, si un $S\subseteq X$ contiene $1$ entonces $f^{-1}(S)=\{x\in \mathbb{R}:f(x)\in S\}$ también contendrá $\mathbb{N}$ (ya que para $\forall x \in \mathbb{N},f(x)=1\in S)$ Entonces, ¿cómo $f^{-1}(S)$ será abierta en topología euclidiana??Como $\mathbb{N}$ no es abierta en topología euclidiana en \mathbb {R}??
Y por lo tanto, según yo, ninguno de los conjunto abierto en $(X,\tau)$ debe contener $1$
Gracias de antemano...
