extensión de un haz vectorial sobre curva relativa punteada

Question

Sea $C$ sea una curva (suave proyectiva sobre un campo $k$ de carácter positivo) y $p$ un punto racional en $C$ . Ponga $\dot{C}=C-{p}$ y $T=Spec R$ donde $R$ es un noetheriano $k$ -álgebra. La cuestión es la siguiente: ¿se puede extender siempre un haz vectorial sobre $\dot{C}_T$ a un haz vectorial sobre curva relativa entera $C_T$ ?

Answer 1

Supongo que por $C_T$ quieres decir $C\times_k T$ . Si es así, la respuesta es no. He aquí por qué:

En primer lugar, $C$ ser proyectivo no tiene importancia ya que la cuestión es local cerca de $p\in C$ . Así pues, supongamos que $C$ es afín.

Sea $C$ cualquier curva afín suave y $f:C\to T$ sea un morfismo uno a uno, un isomorfismo fuera de $p$ Eso es, $C\setminus\{p\}\simeq T\setminus \{f(p)\}$ vía $f$ pero $f$ no es un isomorfismo en $p$ . Por ejemplo $T$ sea una cúspide cúbica y $f:C\to T$ la normalización.

Ahora dejemos que $\Gamma\subset C\times T$ sea la gráfica de $f$ . Entonces $\Gamma\simeq C$ es una curva suave y como interseca el lugar singular de $C\times T$ es no puede sea un divisor de Cartier. (Si lo fuera, $C\times T$ tendría que ser suave a lo largo de $\Gamma$ ).

Ahora, dejemos que $\mathcal L=\mathcal O_{(C\setminus \{p\})\times T}(\Gamma)$ que es un haz de líneas en $(C\setminus \{p\})\times T$ . Supongamos que esto puede ampliarse a $C\times T$ . Entonces la extensión tiene que ser un haz de líneas y correspondería a un divisor de Cartier de la forma $\Gamma + aP$ donde $P=\{p\}\times T$ . $P$ es un divisor de Cartier, ya que no es más que el pull back de $p$ en $C$ . Por lo tanto, esto significaría que entonces $\Gamma$ es un divisor de Cartier, pero ya hemos visto que no lo es.

Así que.., $\mathcal L$ no puede extenderse como un haz de líneas en $C\times T$ .