¿Son únicas las inversas en álgebra unital?

Question

Sea $A$ sea un álgebra unital sobre un campo $F$ con unidad $1$ . Si $a,b,c\in A$ tal que $ab=ba=1=ac=ca$ ¿implica esto que $b=c$ ?

Tenemos $c(ab)=c$ . Sin embargo, las álgebras no son necesariamente asociativas por lo que no podemos concluir $c=c(ab)=(ca)b=b$ .

¿Existen ejemplos de álgebras sobre un campo cuyos elementos tengan múltiples inversos?

Answer 1

¿Existen ejemplos de álgebras sobre un campo cuyos elementos tengan múltiples inversos?

Sí. Considere $S=\{e,a,b\}$ con la siguiente tabla de multiplicar

$$ \begin{array}{c|c|c|c} & e & a & b \\\hline e & e & a & b \\\hline a & a & e & e \\\hline b & b & e & e \\ \end{array}$$

que es no asociativo con la unidad y con múltiples inversos.

Ahora dejemos que $F$ sea un campo cualquiera y considere $F[S]$ que es un espacio vectorial sobre $F$ con $S$ como base. La multiplicación en $F[S]$ se induce linealmente a partir de la multiplicación en $S$ es decir

$$\bigg(\sum_{i=1}^n \lambda_i s_i\bigg)\cdot \bigg(\sum_{i=1}^n\tau_i s_i\bigg):=\sum_{i,j=1}^n\lambda_i\tau_j s_is_j$$

Esto la convierte en un álgebra unital no asociativa sobre $F$ pero $a$ tiene al menos dos inversos: él mismo y $b$ .