Existencia de cerrado, no geodésicas uno mismo-intersección de colectores compactos

Question

Deje $(M,g)$ ser un equipo compacto de Riemann colector. Es bien sabido que siempre existe un trivial cerrado geodésica en $M$ (el llamado Lusternik-Schnirelmann teorema).
Pero tal geodésica que bien podría auto-intersect (de manera transversal).

Lo que se conoce acerca de la existencia de geodesics que no se auto-cruzan? (No sé si 'simple' es el término correcto para describir esto)

Hacer que siempre existen? O hay contraejemplos en los que todos cerrados geodesics son auto-intersección?

Answer 1

Podemos encontrar fácilmente un simple y cerrada geodésica si $M$ no está simplemente conectado:

Prueba: Supongamos $\tilde M$ ser la universalización de la cobertura de $M$. Entonces uno puede tirar hacia atrás de la métrica a $\tilde M$ $\pi : \tilde M \to M$ es un local diffeomorphism. Por lo tanto $\tilde M$ es también una de Riemann colector y $\pi$ es una isometría local. Como $M$ es compacta, completa, y se puede comprobar que el $\tilde M$ también está completo.

Fix $p \in M$ y deje $\tilde p \in \pi^{-1}(p)$ ser fijo. Definir $$ C(p) = \min_{ q\in \pi^{-1}\ (p)\setminus \{\tilde p\} } d(\tilde p, q).$$

Tenga en cuenta que $C(p) >0$ y es realizado por algunos $q\in \pi^{-1}(p)$ $\pi^{-1} (p)$ es un conjunto discreto en $\tilde M$. Uno puede comprobar $C : M \to \mathbb R$ es continua. Deje $p_0 \in M$ ser mínimo. Deje $\tilde p \in \pi^{-1}(p)$ $\tilde q \in \pi^{-1}(p) \setminus \{\tilde p\}$ tal que $C(p) = d(\tilde p, \tilde q)$. Deje $\eta : [0,d] \to \tilde M$ ser un menor geodésica de unirse a $\tilde p$$\tilde q$. Tal geodésica existe como $\tilde M$ es completa. $\eta$ es obviamente simple como es la longitud de la minimización. Vamos $\gamma = \pi \circ \eta$. $\gamma$ es un simple geodésica de bucle ($\gamma(0) = \gamma(d)$), lo que no puede ser liso en $p$.

Sin embargo, considere la posibilidad de $p_1 = \gamma (d/2) \in M$. Como $C(p_1) \ge C(p)$, el mismo $\gamma$ es una curva que es la más corta de la curva a lo largo de todas las curvas homotópica a $\gamma$ con el mismo punto de base $p_1$. Por lo tanto $\gamma$ debe ser suave en $p$ $\gamma$ es simple y cerrada geodésica en $M$.

Comentario Al $M$ es simplemente conexa, la pregunta general que parece ser un problema abierto. Para $\mathbb S^2$, la respuesta es afirmativa. No soy experto en esta pregunta, así que creo que no puedo decir más.