He aquí una explicación puramente cuántica.
Una partícula cuántica cargada en un campo magnético está sometida a Cuantización de Landau . Tomando el campo magnético en el $z$ podemos elegir la galga de Landau para el potencial vectorial: $$ \mathbf{A} = B x \hat{y} ~~ \Rightarrow ~~ \mathbf{B} = B \hat{z}. $$ El Hamiltoniano en las coordenadas $xy$ ignorando (por ahora) los bordes de la muestra:
$$ H = \frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} - \frac{e \mathbf{A}}{c}\right)^2 = \frac{1}{2m} \left[ p_x^2 + \left(p_y- m \omega_c x\right)^2\right],$$
donde $\omega_c = eB/mc$ es la frecuencia del ciclotrón.
Tras la separación de variables obtenemos las funciones de onda:
$$ \psi(x,y) = f_n ( x- k_y / m \omega_c ) e^{i k_y y},$$
donde $f_n$ son las funciones propias del oscilador armónico simple ( $n=0,1,2...$ ). Los valores esperados de $p_y$ y $x$ para esta función de onda son $\langle p_y \rangle =k_y$ y $\langle x \rangle =k_y / m \omega_c$ y la corriente a lo largo del $y$ es proporcional al momento generalizado en esa dirección:
$$ \langle I_y \rangle = \frac{-e}{m} \langle p_y - m \omega_c x\rangle = \frac{-e}{m} (k_y - m \omega_c \frac{k_y}{ m \omega_c} )=0.$$
Como era de esperar, obtenemos una corriente nula en la mayor parte de la muestra.
Ahora imaginemos que estamos cerca del borde de la muestra en el lado negativo de la $x$ eje. Esto significa que la partícula sentirá un potencial de confinamiento $U(x)$ que se parece más o menos: ![enter image description here]()
Este potencial deformará la función de onda $f_n$ a una función de onda que tiene más peso en la dirección positiva de $x$ que antes, y entonces conseguiremos $\langle x \rangle > k_y / m \omega_c$ que conduce a: $$ \langle I_y \rangle > 0, $$ es decir, corriente de borde en el positivo $y$ dirección. Nótese que esta es la misma dirección predicha clásicamente.
