¿Existe un teorema ergódico de Birkhoff generalizado?

Question

¿Existe un teorema ergódico de Birkhoff para dos transformaciones que preservan la medida $T$ y $S$ donde $S\circ T= T \circ S$ para que $\frac{1}{n+1}\frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}f \circ T^{i}\circ S^{j} \to E(f|C)$ para $\mu$ -a.e. puntos donde $C$ es $\sigma$ -de $S,T$ -y $E(f|C)$ es la expectativa condicional de $f$ con respecto al $\sigma$ -álgebra $C$ ?

Answer 1

El teorema ergódico clásico de Birkhoff considera un mapa $T$ actuando sobre un espacio de probabilidad $(X,\mathcal{F},\mu)$ . También podría considerarse una acción de $\mathbb{N}$ en $(X,\mathcal{F},\mu)$ mediante las transformaciones $T,T^2,T^3,\ldots,T^n,$ etc., donde $n \in \mathbb{N}$ se identifica con la transformación $T^n$ . Desde al menos la década de 1960 se ha hecho un esfuerzo general por extender el teorema de Birkhoff a grupos y semigrupos de transformaciones más generales. Un punto culminante reciente de este programa fue una versión del teorema ergódico puntual de Lindenstrauss, que trata los grupos susceptibles de transformaciones preservadoras de la medida que actúan sobre $(X,\mathcal{F},\mu)$ . La literatura para semigrupos de transformaciones en oposición a grupos (ya que no mencionaste si $T$ y $S$ son invertibles) es un poco más dispersa, pero parece adecuada para sus propósitos.

En tu caso, como las transformaciones conmutan, estás considerando la acción de $\mathbb{N}^2$ en $(X,\mathcal{F},\mu)$ dado por $(i,j)\mapsto T^iS^j$ . Para ello se pueden utilizar los resultados de Bewley ("Extension of the Birkhoff and von Neumann ergodic theorems to semigroup actions", Ann. Inst. H. Poincaré Sect. B (N.S.) 7 (1971), 283-291) con $G=\mathbb{N}^2$ , $\gamma$ siendo medida de recuento, y $A_n$ siendo una especie de rectángulo en $\mathbb{N}^2$ que contiene $(1,1)$ . Tenga en cuenta que debe ser preciso sobre la forma en que $n$ y $m$ por separado tienden a infinito: para aplicar el teorema de Bewley creo que basta con suponer que $n/m$ está acotada lejos de cero y del infinito.