Esta es una pregunta pesada, que contiene muchos temas que merecen sus propias preguntas, así que no voy a dar una respuesta completa. Me baso principalmente en este excelente documento de revisión por Nayak, Simon, Stern, Freedman y Das Sarma. Cualquiera que ya esté familiarizado con Anyons puede saltarse la primera parte.
Aniones abelianos y no abelianos
Anyons son cuasipartículas emergentes en sistemas bidimensionales que tienen estadísticas de intercambio que no son ni fermiónicas ni bosónicas. Un sistema que contiene cuasipartículas anyónicas tiene un estado básico que está separado por una brecha del resto del espectro. Podemos mover las cuasipartículas adiabáticamente, y mientras la energía que pongamos en el sistema sea menor que la brecha no lo excitaremos y permanecerá en el estado de reposo. Esta es en parte la razón por la que decimos que el sistema es topológicamente protegido por la brecha.
El caso más sencillo es cuando el sistema contiene Aniones abelianos en cuyo caso el estado fundamental es no degenerado (es decir, unidimensional). Cuando dos cuasipartículas se intercambian adiabáticamente sabemos que el sistema no puede abandonar el estado de tierra, por lo que lo único que puede ocurrir es que la función de onda del estado de tierra se multiplique por una fase $e^{i \theta}$ . Si estos fueran sólo fermiones o bosones entonces tendríamos $\theta=\pi$ o $\theta=0$ respectivamente, pero para anyons $\theta$ puede tener otros valores.
El caso más interesante es anyones no abelianos donde el estado básico es degenerado (por lo que en realidad es un espacio terrestre ). En este caso el intercambio de cuasipartículas puede tener un efecto más complicado en el espacio terreno que una simple fase, lo más general es que dicho intercambio aplique una matriz unitaria $U$ en el espacio terrestre (el nombre "no abeliano" proviene del hecho de que estas matrices en general no conmutan entre sí).
La dimensión cuántica
Así pues, sabemos que el espacio terrestre de un sistema con anyones no abelianos es degenerado, pero ¿qué podemos decir de su dimensión? Esperamos que cuantas más cuasipartículas tengamos en el sistema, mayor será su dimensión. De hecho, resulta que para $M$ cuasipartículas, la dimensión del espacio terreno para grandes $M$ es aproximadamente $\sim d_a^{M-2}$ donde $d_a$ es un número que depende de $a$ - el tipo de las cuasipartículas del sistema. Esta ley de escalado recuerda al escalado de la dimensión de un producto tensorial de múltiples espacios de Hilbert de dimensión $d_a$ y por esta razón $d_a$ se denomina dimensión cuántica de una cuasipartícula de tipo $a$ . Se puede considerar como el degeneración asintótica por partícula . Para los anyones abelianos tenemos un espacio terreno unidimensional sin importar cuántas cuasipartículas haya en el sistema, así que para ellos $d_a=1$ .
Aunque hemos utilizado la analogía con un producto tensorial de espacios de Hilbert, nótese que en ese caso la dimensión de cada espacio de Hilbert es un número entero, mientras que la dimensión cuántica no es en general un número entero. Esta es una propiedad importante de los anyones no abelianos que los diferencia de un simple conjunto de partículas con espacios de Hilbert locales: el espacio terreno de los anyones no abelianos es altamente no local.
Encontrará más información sobre los anyones y la dimensión cuántica en el artículo citado anteriormente. La dimensión cuántica puede generalizarse a otros sistemas con propiedades topológicas, manteniendo el mismo significado intuitivo de degeneración asintótica por partícula. En general, es muy difícil calcular la dimensión cuántica, y sólo hay un puñado de artículos que lo hacen (la mayoría de ellos citados en el artículo de Kitaev y Preskill que inspiró esta pregunta).
Relación con el enredo
También puedo intentar argumentar por qué la dimensión cuántica estaría relacionada con el entrelazamiento. En primer lugar, el hecho de que la entropía de entrelazamiento de una región delimitada sólo dependa de la longitud de la frontera $L$ y no en la zona de la región se explica muy claramente en este documento de Srednicki, que también citan Kitaev y Preskill. Básicamente dice que la entropía del entrelazamiento puede calcularse trazando la región delimitada, o trazando todo lo que hay fuera de la región delimitada, y los dos enfoques darán el mismo resultado. Esto significa que el entrelazamiento tiene que depender sólo de las características que ambas regiones tienen en común, y esto descarta el área de las regiones y deja sólo el límite entre ellas.
Ahora para un sistema sin orden topológico el entrelazamiento iría a cero cuando el tamaño de la región acotada va a cero. Sin embargo, para un sistema topológico existe un entrelazamiento intrínseco en el espacio de tierra que produce el término constante $-\gamma$ en el enredo. La máxima entropía de entrelazamiento de un sistema con dimensión $D$ tiene con su entorno es $\log D$ por lo que, de forma análoga, el entrelazamiento topológico es $\gamma=\log D$ donde $D$ es la dimensión cuántica. Una vez más, este último argumento se basa en gran medida en la improvisación, así que si alguien puede mejorarlo, por favor, que lo haga.
Espero que esto responda al menos a las principales preocupaciones de la pregunta, y agradezco cualquier crítica.
