Espacio de solución de una ecuación diferencial

Question

Por lo general, las condiciones iniciales de un $n^{th}$ implican condiciones iniciales que sólo implican derivadas hasta el grado $ n-1 \ (like \ y^{(n-1)}(0) \ = \ A).$

Incluso una base del espacio de soluciones de una EDO consiste en soluciones que satisfacen las siguientes condiciones iniciales, ninguna de las cuales contiene ninguna condición sobre $y_i^{(n)}(0)$ .

$$y_1(0)=1,y_1'(0)=0,y_1''(0)=0,…,y_1^{(n1)}(0)=0 \\ y_2(0)=0,y_2'(0)=1,y_2''(0)=0,…,y_2^{(n1)}(0)=0 \\ y_3(0)=0,y_3'(0)=0,y_3''(0)=1,…,y_3^{(n1)}(0)=0 \\ … \\ y_n(0)=0,y_n'(0)=0,y_n''(0)=0,…,y_n^{(n1)}(0)=1$$

Ahora entiendo que sólo podemos tener $n$ condiciones iniciales totales en la EDO, pero ¿hay alguna razón técnica para omitir $y_i^{(n)}(0)$ en lugar de $y_i(0)$ al escribir las condiciones iniciales?

¿Podemos tener una base para el espacio solución con condiciones como

$$y_1'(0)=1,y_1''(0)=0,y_1'''(0)=0,…,y_1^{(n)}(0)=0 \\ y_2'(0)=0,y_2''(0)=1,y_2'''(0)=0,…,y_2^{(n)}(0)=0 \\ y_3'(0)=0,y_3''(0)=0,y_3'''(0)=1,…,y_3^{(n)}(0)=0 \\ … \\ y_n'(0)=0,y_n''(0)=0,y_n'''(0)=0,…,y_n^{(n)}(0)=1$$

Answer 1

Su ecuación podría ser incompatible con esas condiciones iniciales. Considere por ejemplo $$ \begin{cases} y''+y'=0 , & t>0\\ y''(0)=1 \\ y'(0)=0 \end{cases} $$ Si este problema tuviera solución, la continuidad se daría a tiempo $t=0$ la contradicción $$1=0.$$