Derivada de la función del vector

Question

$X$ es $n \times n$ matriz simétrica (constantes), $y$ es $n \times 1$ vector.

¿Cuál es la primera derivada / diferencial de

$$f(y)=\exp(-\frac{1}{2}y'Xy) $$

Answer 1

Consideremos la variable escalar $$\eqalign{ s &= X:yy^T \cr }$$ y su diferencial $$\eqalign{ ds &= X:(dy\,y^T+y\,dy^T) \cr &= (Xy+X^Ty):dy \cr &= 2\,Xy:dy \cr }$$ donde dos puntos denota el producto de doble punto (también conocido como Frobenius).

Escribe la función en términos de esta nueva variable. Ahora encontrar la diferencial y el gradiente es sencillo $$\eqalign{ f &= \exp(-s/2) \cr \cr df &= -\frac{1}{2}f\,ds \cr &= -f\,Xy:dy \cr \cr \frac{\partial f}{\partial y} &= -f\,Xy \cr }$$