Teorema de Serre sobre la regularidad y la dimensión homológica

Question

Uno de los mejores resultados que conozco es el teorema de (Auslander-Buchsbaum-)Serre que afirma que un anillo local (¡conmutativo!) es regular si tiene dimensión global finita .

Me gustaría hacer una pregunta un tanto vaga:

¿cuál es la historia y cuál fue el contexto de este resultado?

Con esto quiero decir: presumiblemente la caracterización anterior no salió de la nada (o sólo de la mente de Serre), y se produjo una acumulación de ideas que condujeron a una caracterización tan elegante y, supongo, sorprendente de la regularidad. Hoy en día, una cosa así parece casi natural a nuestras mentes educadas en la bonita configuración construida por los fundadores del álgebra homológica y a la que ya han tendido unas cuantas generaciones, pero sospecho que era menos "evidente" en aquella época.

Answer 1

En 1953-54 E. Artin me pidió que le describiera el álgebra homológica. Además de Ext y Tor, decidí mostrarle la "prueba homológica" del Teorema de la Base de Hilbert e indiqué que la misma prueba demostraba que un anillo local regular tenía dimensión global finita. Artin mencionó entonces el problema de la localización abierta, y le dije que si la inversa del teorema que acababa de mostrarle fuera cierta, el resultado de la localización sería trivial. Me preguntó si podía demostrar la inversa, le dije que no, y ambos estuvimos de acuerdo en que estaría bien demostrarlo. En esa conversación también surgió la cuestión de la factorialidad en anillos locales regulares, así que me propuse demostrar esos dos teoremas. Convencí a Auslander para que se uniera a mí en ese proyecto. Cuando Auslander y yo tuvimos casi todos los resultados y un esbozo de la cadena de desigualdades necesarias, Eilenberg pidió verlos, se los escribimos y se fue a París con ellos. Fue allí donde Serre vio el esbozo de nuestro proyecto, y nos ganó la prueba final por alrededor de una semana (o el tiempo que tardaba una carta de correo aéreo en viajar de París a Princeton). Esto puede aclarar las preguntas planteadas inicialmente.

Answer 2

AÑADIDO: Hay un relato escrito por Buchsbaum (véanse las páginas 1 y 2 del número 23 aquí ) que describen con más detalle lo que escribieron en [1]. Así que el problema de localización para anillos regulares fue sin duda la principal motivación para ellos.

La historia de este fascinante teorema es bastante complicada, de hecho cuando era estudiante de posgrado oí algunas historias jugosas a su alrededor, así que aproveché la ocasión para investigar un poco. Dudo que se pueda saber toda la verdad aunque pudiéramos hablar de alguna manera con todos los implicados, así que lo que sigue es quizá una conjetura (in)educada en el mejor de los casos.

Su pregunta tiene varios componentes, a saber:

a) ¿Quién ha demostrado qué?

b) ¿Cuál es la motivación del enunciado del teorema?

En cuanto a la letra a), he aquí las referencias pertinentes:

[1] M. Auslander y D. A. Buchsbaum, Homological dimension in noetherian rings. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. vol. 42 (1956).

[2] Auslander, Maurice; Buchsbaum, David A. Homological dimension in local rings. Trans. Amer. Math. Soc. 85 (1957), 390-405.

[3] Serre, Jean-Pierre. Sur la dimension homologique des anneaux et des modules noethériens. (Francés) Proceedings of the international symposium on algebraic number theory, Tokyo & Nikko, 1955, pp. 175-189. Consejo Científico de Japón, Tokio, 1956.

[4] Kaplansky, Irving. Commutative rings. Conference on Commutative Algebra (Univ. Kansas, Lawrence, Kan., 1972), pp. 153-166. Lecture Notes in Math., Vol. 311, Springer, Berlín, 1973. 13-03

El resultado que has citado (por cierto, hoy en día se conoce a menudo como el teorema de Auslander-Buchsbaum-Serre) fue anunciado en [1]. Allí se decía claramente que uno de los ingredientes es un lema de Serre (que afirmaba que la dimensión global está limitada por debajo por el número de generadores del ideal máximo), sin embargo [1] no daba referencias ni contenía pruebas (anunciar tu avance así era una práctica bastante común en la época anterior a arXiv, todo hay que decirlo).

Las pruebas completas aparecieron en [2], en el que el Lemma se dio una referencia clara como [3, Teorema 4]. Sin embargo, la reseña de [3], escrita por Buchsbaum, decía:

El autor expone los resultados de M. Auslander y del revisor [Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 42 (1956), 36-38; MR0075190 (17,705b)] y completa estos resultados, en particular dando una caracterización homológica de los anillos locales regulares.

Además, el libro de Serre "Local Algebra" remite a [3] para el resultado completo (Teorema 9 allí).

Así que parece que [1] y [3] aparecieron prácticamente al mismo tiempo y con conocimiento el uno del otro. Por desgracia, no he podido encontrar [3].

Quizá la última palabra la tenga Kaplansky, que escribió en su estudio [4]

El gran teorema fue demostrado por Auslander, Buchsbaum y Serre. (El Auslander-Buchsbaum se anunció en [1], con detalles completos en [2]; Serre terminó el trabajo en [3]).

Bien, ¿cuál es la respuesta a b)? Dejaré la palabra a Auslander-Buchsbaum, que escribió en [1] después de afirmar que los anillos locales regulares tienen dimensión global finita:

Por lo tanto, si $R$ es un anillo local regular y $P$ es un ideal primo de $R$ entonces $gl.dim \ R_P$ es finito.... Esta observación, junto con algunos cálculos directos, llevó a los autores a conjeturar:

Teorema. Un anillo local $R$ es regular si y sólo si $gl.dim \ R$ es finito.

Answer 3

No sé en qué estaba pensando Serre (¿o Auslander y Buchsbaum?), pero habría sido natural observar que $R$ es regular si su ideal máximo está generado por una sucesión regular, lo que (escribiendo el complejo de Koszul) implica que el campo de residuos $k$ tiene dimensión proyectiva finita. Si ya has establecido (o tienes buenas razones para esperar) que ningún módulo puede tener una dimensión proyectiva mayor que el campo residuo, entonces estás naturalmente conducido a este resultado.

Answer 4

Según la definición de Serre, basta con demostrar que la dimensión de Krull del anillo noetheriano conmutativo es igual a su dimensión global, que viene dada por la dimensión proyectiva del campo de residuos (un resultado que también puede obtenerse mediante la respuesta de Steven Landsburg). Sin embargo, al considerar una vecindad afín del anillo en el esquema formado por el campo de residuos, cada punto del esquema corresponde a un ideal primo y, por tanto, a una localización. Esto está estrechamente relacionado con el concepto de conexión de Galois: que los ideales primos de un anillo corresponden a un punto del esquema a través de la conexión de Galois. Por tanto, la dimensión de Krull es igual a la dimensión proyectiva (irreducible) del espectro, y por tanto es igual al número mínimo de generadores de los ideales máximos del anillo, para todas esas localizaciones. No hay nada malo en utilizar complejos de Koszul, pero este hecho también es cierto cuando se consideran esquemas y sus espectros.