¿Es posible caracterizar los módulos artinianos por su soporte?

Question

Los anillos son noetherianos conmutativos (y locales si es necesario). Los módulos no son necesariamente generados finitamente.

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Hay varias caracterizaciones para que un módulo sea artiniano. pero quiero saber si hay una caracterización para los módulos artinianos $M$ basado en $\operatorname{Supp}M$ ?

Puedo demostrar que si $M$ es artiniano, entonces todos los elementos de $\operatorname{Supp} M$ son máximos (y $|\operatorname{Supp} M|< \infty$ ). ¿Es cierto lo contrario?

Gracias, señor.

Answer 1

No. $k$ sea un campo cualquiera, y sea $V$ sea una dimensión infinita $k$ -espacio vectorial. Entonces $V$ no es ni artiniano ni noetheriano, sino que $\operatorname{Supp}(V) = \{0\}$ es un conjunto finito de ideales maximales de $k$ .