¿Por qué resulta que $\pi$ es negativo?

Question

Hice lo siguiente para derivar el valor de $\pi$, es posible que quieras agarrar un lápiz y un trozo de papel:

Imagina un círculo unitario con el punto central $b$ y dos puntos $a$ y $c$ en la circunferencia del círculo de manera que el triángulo $abc$ sea un triángulo obtuso. Puedes ver que si $\theta$ denota el ángulo $\angle acb$ entonces $0<\theta<90$ y que el ángulo del sector $abc$ es $180 -2\theta$, por lo que el área del sector $abc$ es $\frac{180-2\theta}{360}\pi = \frac{90-\theta}{180}\pi$. Si extendemos el radio $bc$ para formar un diámetro $D$, entonces el ángulo entre la línea $ab$ y $D$ es $180-(180-2\theta) = 2\theta; por lo que si definimos la distancia entre el punto $a$ y la línea $D$ como $h$ obtenemos $h = \sin(2\theta)$. Esto nos permite derivar el área del triángulo $abc$ como $\frac{1}{2}\sin(2\theta)$. El área del segmento $ac$ es el área del sector abc - el área del triángulo abc: $$ \frac{90-\theta}{180}\pi - \frac{1}{2}\sin(2\theta) $$ Podemos ver que cuando $\theta$ se acerca a 0, el área del segmento ac se aproxima a la mitad del área del círculo que es $\frac{\pi}{2}$ $$ \lim_{\theta \to 0} \frac{90-\theta}{180}\pi - \frac{1}{2}\sin(2\theta) = \frac{\pi}{2} $$ $$ \lim_{\theta \to 0} \frac{90-\theta}{90}\pi - \sin(2\theta) = \pi $$ $$ \lim_{\theta \to 0} \pi\Big[\frac{90-\theta}{90} - 1\Big] = \lim_{\theta \to 0} \sin(2\theta) $$ $$ \lim_{\theta \to 0} -\frac{\theta\pi}{90} = \lim_{\theta \to 0} \sin(2\theta) $$ $$ \pi = -\lim_{\theta \to 0} \frac{90\sin(2\theta)}{\theta} $$ Sin embargo, este límite llega a -3.1415...

Answer 1

$$\lim_{\theta \to 0} -\frac{\theta\pi}{90} = \lim_{\theta \to 0} \sin(2\theta) $$

Lo anterior es correcto, pero no implica la siguiente línea:

$$\pi = -\lim_{\theta \to 0} \frac{90\sin(2\theta)}{\theta}$$

La falacia aquí es esperar (o argumentar) que $\displaystyle \,\lim_{\theta \to 0} f(\theta) = \lim_{\theta \to 0} g(\theta) \implies \lim_{\theta \to 0} \frac{f(\theta)}{g(\theta)}=1\,$, pero esta última implicación no necesariamente es cierta cuando ambos límites son $\,0\,$.

Compara por ejemplo con $\displaystyle\,\lim_{\theta \to 0} \theta + \lim_{\theta \to 0} \theta = 0 \implies \lim_{\theta \to 0} \theta = -\lim_{\theta \to 0} \theta \implies 1 = -\lim_{\theta \to 0} \dfrac{\theta}{\theta}=-1\,$.

Answer 2

Tu matemática es buena hasta

$$\lim_{\theta \to 0} -\frac{\theta\pi}{90} = \lim_{\theta \to 0} \sin(2\theta)$$ lo cual es simplemente $$0=0$$ lo cual es lo mismo que $$-0=0$$

Quieres manipular $$0=0$$ dividiendo ambos lados por $0$ para generar el indefinido $$0/0$$ y obtener un valor negativo para $\pi$

Bueno, si te das cuenta, $$\lim_{\theta \to 0} -\frac{\theta\pi}{90}= \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta\pi}{90}$$ y con el mismo argumento puedes obtener $\pi = 3.14..$