Función "equivariante" de las transformadas lineales

Question

Sea $f\colon \mathbb{R}^{m\times n}\to \mathbb{R}^{m \times n}$ sea tal que $$f(AX+b{\bf 1}^T) = Af(X)$$ para cualquier $X\in \mathbb{R}^{m\times n}$ , $A\in \mathbb{R}^{m\times m}$ y $b\in\mathbb{R}^m$ . La notación $b{\bf 1}^T$ significa un producto exterior (emisión $b$ como columnas).

Me gustaría demostrar que $f$ debe adoptar la forma $f(X) = X C$ para algunos $n\times n$ matriz $C$ . ¿Es cierto? En caso afirmativo, ¿cuáles son las restricciones implícitas sobre $C$ ? Le agradezco mucho su ayuda.

[Editar] parece que no es cierto en estas condiciones. Daré un contraejemplo con $m=1$ un poco más tarde. Me di cuenta de mi caso real de interés no lo requiere para cualquier arbitraria $X$ pero sólo para una determinada $X$ . En este caso $C$ puede, de hecho, depender de $X$ . Así que la pregunta se reformula como: ¿existe siempre la representación como $f(X)=XC(X)$ ?

Answer 1

(La siguiente respuesta aborda su pregunta original, en la que el $X$ en la condición no es fija sino arbitraria). Es cierto cuando $m>1$ . Sea $\{e_1,\ldots,e_m\}$ sea la base estándar de $\mathbb R^m$ . Poniendo $A=e_ie_j^T$ y $b=0$ en la condición dada, tenemos $$ e_i^Tf(e_ie_j^TX)=e_i^Te_ie_j^Tf(X)=e_j^Tf(X)\tag{1} $$ para todos $i,j\in\{1,2,\ldots,m\}$ y todas las matrices $X$ . Defina $g_i:\mathbb R^{1\times n}\to\mathbb R^{1\times n}$ por $g_i(x^T)=e_i^Tf(e_ix^T)$ . Entonces $(1)$ puede reformularse como $$ g_i(e_j^TX) =e_j^Tf(X).\tag{2} $$ Por lo tanto $g_i(x^T)=g_i(e_j^Te_jx^T)=e_j^Tf(e_jx^T)$ para todos los índices $i,j$ y todos $x^T\in\mathbb R^{1\times n}$ . En consecuencia, todos $g_i$ s son idénticas a alguna función común $g$ . Ahora, para cualquier $x^T,y^T\in\mathbb R^{1\times n}$ , \begin{aligned} g(x^T+y^T) &=g((e_1+e_2)^T(e_1x^T+e_2y^T))\\ &=g\left(e_1^Te_1(e_1+e_2)^T(e_1x^T+e_2y^T)\right)\\ &=e_1^Tf\left(e_1(e_1+e_2)^T(e_1x^T+e_2y^T)\right)\\ &=e_1^Te_1(e_1+e_2)^Tf(e_1x^T+e_2y^T)\\ &=e_1^Tf(e_1x^T+e_2y^T)+e_2^Tf(e_1x^T+e_2y^T)\\ &=g\left(e_1^T(e_1x^T+e_2y^T)\right)+g\left(e_2^T(e_1x^T+e_2y^T)\right)\\ &=g(x^T)+g(y^T).\\ \end{aligned} (Tenga en cuenta que $e_2$ existe en lo anterior porque $m>1$ .) Por lo tanto $g$ es aditivo. También preserva la multiplicación escalar, porque \begin{aligned} g(ax^T) &=g\left(e_1^T(ae_1x^T)\right)\\ &=e_1^Tf(ae_1x^T)\\ &=e_1^Tf\left((aI_m)e_1x^T\right)\\ &=e_1^T(aI_m)f(e_1x^T)\\ &=ae_1^Tf(e_1x^T)\\ &=ag(x^T). \end{aligned} Por lo tanto $g$ es lineal. Por lo tanto $g(x^T)=x^TC$ para alguna matriz $C\in\mathbb R^{n\times n}$ . Se deduce de $(2)$ que $$ f(X)=\pmatrix{e_1^Tf(X)\\ e_2^Tf(X)\\ \vdots\\ e_m^Tf(X)} =\pmatrix{g(e_1^TX)\\ g(e_2^TX)\\ \vdots\\ g(e_m^TX)} =\pmatrix{e_1^TXC\\ e_2^TXC\\ \vdots\\ e_m^TXC} =XC. $$ Tenga en cuenta que sólo necesitamos $f(AX)=Af(X)$ para concluir que $f(X)=XC$ y el mismo argumento es válido cuando $\mathbb R$ se sustituye por cualquier anillo conmutativo con unidad (en otras palabras, cuando $m>1$ y $R$ es un anillo conmutativo, las únicas funciones en $R^{m\times n}$ que conmutan con TODAS las multiplicaciones de matrices izquierdas son multiplicaciones de matrices derechas ). Sin embargo, la condición completa $f(AX+b\mathbf1^T)=Af(X)$ implica que $\mathbf1^TC$ debe ser cero.

El caso en que $m=1$ es más anárquico. Cuando $n=1$ , $f$ es necesariamente cero. Cuando $n=2$ tenemos $f(b+a,b-a)=af(1,-1)$ y por lo tanto $f$ es lineal. Cuando $n\ge3$ , $f$ puede adoptar una forma más arbitraria. De hecho, para cada vector unitario $u\perp\mathbf1$ cuyo primer elemento distinto de cero es positivo, se puede asignar un valor arbitrario a $f(u^T)$ y definir $f(au^T+b\mathbf1^T)=af(u^T)$ . Entonces $f$ preserva la multiplicación escalar, pero no es lineal en general.