Extensión de Galois de grado $2^n$

Question

Sea $k$ sea un campo y $L=k(\sqrt{a_1},\sqrt{a_2},\cdots,\sqrt{a_n})$ con $a_i\in k$ . Supongamos que $[L:k]=2^n$ . Sea $a=\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\cdots\sqrt{a_n}$ . Demuestre que $L=k(a)$ .

Answer 1

Sea $t=\sqrt{a_1}+\cdots +\sqrt{a_n}$ entonces tenemos $$k \subseteq k(t)\subseteq k(\sqrt{a_1}, \ldots , \sqrt{a_n})$$

¿Cuántos conjugados tiene $t$ tener ? Claramente el $2^n$ expresiones

$$\pm\sqrt{a_1}\pm\sqrt{a_2}\cdots \pm \sqrt{a_n}$$ son todas conjugadas, sólo tenemos que ver que son distintas. Si por el contrario dos fueran iguales al restarlos obtenemos una expresión de la forma $\sqrt{a_{i_1}}+\cdots +\sqrt{a_{i_k}}=0$ y esto contradiría la suposición. Así que $t$ tiene $2^n$ conjugados, por lo que su polinomio mínimo debe tener al menos el grado $2^n$ .

Answer 2

En primer lugar, observamos que $ L/k $ es un campo de división sobre un campo perfecto, y por lo tanto es una extensión de Galois y tenemos $ |\textrm{Gal}(L/k)| = [L : k] = 2^n $ . Es evidente que la $\sqrt{a_i} $ son linealmente independientes sobre $ k $ del grado de la extensión. Un automorfismo $ \sigma \in \textrm{Gal}(L/k) $ queda determinada de forma unívoca por sus valores en $ \sqrt{a_i} $ . Sin embargo, cada uno de ellos sólo tiene dos $k$ -conjugados (contándose a sí mismos), por lo que hay como máximo $2^n $ valores posibles para asignar valores a cada uno de ellos, dando lugar a $ 2^n $ distintos automorfismos. Pero el grupo de Galois contiene precisamente $ 2^n $ automorfismos, por lo tanto cualquier elección de valores produce un automorfismo.

Ahora, dejemos que $ P $ sea el polinomio mínimo de $ \alpha = \sum \sqrt{a_i} $ en $ k $ entonces el grupo de Galois envía una raíz a otra raíz. Sin embargo, podemos elegir un automorfismo $ \sigma $ tal que

$$ \sigma(\alpha) = \sum \sigma(\sqrt{a_i}) = \sum c_i \sqrt{a_i} $$

para cualquier elección del $ c_i $ del conjunto $ \{-1, 1\} $ . Estos valores son todos distintos (de lo contrario, las raíces cuadradas serían linealmente dependientes), y por lo tanto $ P $ tiene al menos $2^n $ raíces distintas, lo que implica que es de grado $ 2^n $ (la extensión del campo no puede contener un elemento cuyo grado sea mayor que el grado de la extensión). Esto significa que el conjunto $ S = \{ 1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{2^n-1} \} $ es un conjunto linealmente independiente, y como tiene $ 2^n $ elementos que abarca $ L/k $ demostrando que $ L = k(\alpha) $ . (Este último argumento también puede presentarse señalando $ [L:k] = [L:k(\alpha)][k(\alpha):k] $ y así $ [L : k(\alpha)] = 1 $ .)