Si $aH = bH$ y $Ha^{-1} = Hb^{-1}$, probar o encontrar un ejemplo contrario.

Question

$H$ es un subgrupo de $G$ y $a,b$ en $G$.

Yo estaba algo perdido por un tiempo pero creo puedo realmente han, aunque no estoy seguro... ¿Tiene esto sentido?

\begin{aligned} aH &= bH \\ &\implies b \in aH \\ &\implies \exists h \in H : ah = b \\ &\implies a^{-1}ah = a^{-1}b \\ &\implies h = a^{-1}b \\ &\implies hb^{-1} = a^{-1}bb^{-1} \\ &\implies hb^{-1} = a^{-1} \\ \end{alineado}

Esto quiere decir $a^{-1}$ es un elemento de $Hb^{-1}$, por lo que son iguales.

Estaba bastante segura que podía hacer esas operaciones. Alguien me puede decir donde aprender a hacer los símbolos especiales, como cuantificadores y las relaciones porque sería más sencillo.

Answer 1

$aH=bH$ no implica que $a$ o $b \in H$. Sólo implica que están en la misma coset. Esto implica que las $b^{-1}a \in H$

Para conseguir el buen formato, escriba las fórmulas de signos de dólar. Si hace clic derecho en una fórmula, hay un elemento de menú Mostrar la Fuente que le mostrará el texto (sin el signo de dólar) que se ha creado. Doble signos de dólar obtener el modo de visualización. Cuando se está escribiendo, una versión interpretada es visible debajo. A la mano referencias de Látex están aquí y aquí

Answer 2

Para el formato, consulte aquí y algunos de los enlaces que hay. Usted necesita saber un poco de Látex.

En cuanto a su argumento, que es (en su mayoría) correcto. Mi única incordia sería de presentación. De $aH=bH$ usted a la conclusión de que debe existir $h\in H$ tal que $b=ah$. Que está bien. El siguiente paso debe ser el de que "no existe $h\in H$ tal que $a^{-1}b=a^{-1}ah = h$". Entonces "No existe $h\in H$ tal que $a^{-1}=a^{-1}bb^{-1}=hb^{-1}$", por lo $a^{-1}$ es en el coset $Hb^{-1}$. Su declaración final "por lo tanto son iguales" es técnicamente incorrecto, ya que $a^{-1}$ no es igual a la coset $Hb^{-1}$; lo que significaba que decir es que desde el $a^{-1}$$Hb^{-1}$, entonces el coset $Ha^{-1}$ es igual a la coset $Hb^{-1}$. Otros que estas objeciones, el argumento parece correcto para mí.

Ahora, a ver si lo entiendo bien, intentar averiguar que, en su caso, de sus implicaciones son reversibles, para ver si el recíproco también se mantiene.

Answer 3

Estás en el camino correcto. es equivalente a $aH = bH$ $a^{-1}b \in H$ y $Ha^{-1} = Hb^{-1}$ es equivalente a $a^{-1} (b^{-1})^{-1} = a^{-1}b \in H$, que es lo mismo. Un enfoque que debería funcionar sería convertir sus argumentos en las declaraciones de esta naturaleza.