Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\tag{1}\label{1}$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\tag{2}\label{2}$$
Tenemos $u=u(x,y)=\sinh(x)\cos(y)$, entonces $$\frac{\partial u}{\partial x}=\cosh(x)\cos(y)\tag{3}\label{3}$$ y a partir de $(1)$ concluimos que $$\frac{\partial v}{\partial y}=\cosh(x)\cos(y)\tag{4}\label{4}$$ Ahora integramos ambos lados de (4) (esto es en realidad integración parcial - la operación opuesta a la diferenciación parcial, pero este término no se usa ampliamente por alguna razón): $$v=\int\frac{\partial v}{\partial y}\,dy=\int\cosh(x)\cos(y)\,dy=\cosh(x)\sin(y)+C(x)\tag{5}\label{5}$$ La función $C(x)$ en $(5)$ todavía está por determinar (podría depender de $x$, pero no de $y$). Encontraremos la función $C(x)$ a partir de $(2)$ y por esta razón necesitamos encontrar primero $\frac{\partial u}{\partial y}$: $$\frac{\partial u}{\partial y}=-\sinh(x)\sin(y)\tag{6}\label{6}$$ De $(2)$ y $(6)$ concluimos que la función $v$ tiene que satisfacer esto: $$\frac{\partial v}{\partial x}=\sinh(x)\sin(y)\tag{7}\label{7}$$ Ahora pongamos $(5)$ en $(7)$: $$\frac{\partial}{\partial x}\left(\cosh(x)\sin(y)+C(x)\right)=\sinh(x)\sin(y)$$ $$\sinh(x)\sin(y)+C'(x)=\sinh(x)\sin(y)$$ $$C'(x)=0$$ Entonces, en este caso $C(x)=C$ ($C$ es una constante cualquiera, normalmente se determina por una condición adicional, como el valor de la función en algún punto). La respuesta final es $$v=v(x,y)=\cosh(x)\sin(y)+C$$ Puedes tomar $C=0$ si deseas. Las funciones $u(x,y)=\sinh(x)\cos(y)$ y $v(x,y)=\cosh(x)\sin(y)+C$ son conjugadas armónicas para cualquier $C$.
Los diferenciales $du$ y $dv$ los puedes calcular usando estas fórmulas (y utilizando $(3)$, $(4)$, $(6)$, $(7)$): $$du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy$$ $$dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy$$
Consejo extra: No podrás encontrar la función $v$ sin usar la operación de integración (al menos en el caso general), si esa era la pregunta.
