Sea $P$ sea un polinomio en $\mathbb{C}[z_1,z_2,...,z_n].$ Considere la derivada de $P,$ $D_{\mathbb{C}}P$ como un mapa holomorfo de $\mathbb{C}^n$ a $\mathbb{C}^n.$ Tengo la siguiente pregunta:
¿La condición $P$ al ser irreducibles implican que el conjunto $Z(D_{\mathbb{C}}P)\cap Z(P)$ es atmost finite, donde $Z$ representa el conjunto cero?
La respuesta es no.
Consideremos el conjunto $X$ dado por los ceros de $P$ . Se trata de una variedad algebraica en $\mathbb C^n$ . El conjunto que se escribe es el lugar singular de $X$ .
El lugar singular de una variedad puede ser un divisor en su variedad, incluso si su variedad es irreducible. En particular, si $\dim X >1$ entonces el lugar singular puede ser de dimensión positiva.
Voy a poner un ejemplo explícito.
Necesitaremos un polinomio en al menos tres variables. Sea $P =x^2 z + y^3+y^2$ . Tenga en cuenta que $P$ es irreducible. Para ver esto, considere $P$ como un polinomio lineal en $z$ con coeficientes en $\mathbb C[x,y]$ .
Queremos comprobar que el lugar singular de esta superficie es una curva.
Las derivadas de $P$ son $2xz$ , $3y^2 + 2y$ y $x^2$ . (Explícitamente: $dP/dx = 2xz$ , $dP/dy = 3y^2 +2y$ y $dP/dz = x^2$ .)
Tenga en cuenta que si $x = y =0$ todas las derivadas desaparecen. También $P$ desaparece si $x = y =0$ . Por lo tanto, el lugar singular de $X = Z(P)$ contiene la línea $z =0$ . En su terminología, el conjunto $\{(0,0,z) \ | \ z\in \mathbb C\}$ se encuentra en $Z(P) \cap Z (DP)$ . Así, el lugar singular de $X = Z(P)$ es unidimensional (e infinito).
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