Encontrar propiedades de curvas en el plano complejo.

Question

Soy autodidacta, así que pido disculpas si he pasado por alto algo obvio.

Estoy intentando encontrar más información sobre esta curva que he trazado en el plano complejo.

$$z(t)=\left(1+\frac{1}{t+i}\right)^{t+i} \quad \forall t \in \mathbb{R}$$

Usted puede notar que a medida que $t \to \pm \infty, z(t) \to e$ . (Se me ocurrió esta idea al intentar considerar entradas complejas a la definición de límite para $e$ ).

Sin embargo, curiosamente, esta curva parece circular y tangente al eje real en $e$ . Si se trata de un círculo, me encantaría conocer su radio o su centro. Si es un círculo con radio $r$ , puedo ver que el centro debe ser $e + ri$ . He intentado diferenciar para encontrar $dz/dt$ encontrar cuando Im $(dz/dt)$ es cero para que pueda encontrar el punto $e+2ri$ pero empecé a pensar que este método era inútil.

Agradecería enormemente que alguien con más experiencia en este campo me orientara hacia casos más sencillos de este problema, o me diera alguna pista que pudiera llevarme a una respuesta.

Gracias

P.D. Si esto te intrigó, también descubrí que se puede crear una circunferencia "perpendicular" al eje real en e que venía en esta forma. Viendo que éste tenía dos valores reales en el rango, me pareció igualmente interesante.

$$z(t)=\left(1+\frac{1}{1+ti}\right)^{1+ti} \quad \forall t \in \mathbb{R}$$

Answer 1

Su curva necesita ser investigada para $t \to \infty$ lo cual es un poco incómodo. Sin embargo, tras la sustitución $t \leftarrow - \frac{e}{2t}$ podemos investigar cerca de $t=0$ . Con una herramienta como Wolfram Alpha encontrará $$\left(1+\frac1{\mathrm i - \frac{e}{2 t}}\right)^{\left(\mathrm i - \frac{e}{2 t}\right)} = e + t + \left(\frac{11}{6e}+\frac{2}{e}\mathrm i\right) t^2 + \ldots.$$

El radio de curvatura en $t=0$ es entonces $r = \frac{e}{4}$ . Es el recíproco del doble de la parte imaginaria del coeficiente de segundo orden (es decir, de $t^2$ ).