Si $(A_i)$ es una secuencia de $C^*$ álgebras,Is $\oplus_{c_0}A_i$ ( $c_0$ suma directa)y $\prod A_i$ ( $\ell ^\infty $ suma directa) también nuclear?
Respuesta
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Fijar $a\in \bigoplus_nA_n$ y $\varepsilon>0$ . Para cada $n$ existen mapas ucp $\varphi_n:A_n\to M_{k(n)}(\mathbb C)$ y $\psi_\varepsilon:M_{k(n)}(\mathbb C)\to A_n$ tal que $\|\psi_n\circ\varphi_n(a_n)-a_n\|<\varepsilon$ . También hay $m$ tal que $\|a_n\|<\varepsilon$ para todos $n\geq m$ . Escriba a $a_0$ para el truncamiento de $a$ a su primer $m$ entradas; entonces $\|a-a_0\|<\varepsilon$ . A continuación, los mapas $$ \varphi:\bigoplus_nA_n\to \bigoplus_{n=1}^mM_{k(n)}(\mathbb C),\ \ \ \psi:\bigoplus_{n=1}^mM_{k(n)}(\mathbb C)\to \bigoplus_nA_n $$ dado por $$\varphi(b)=\bigoplus_{n=1}^m\varphi_n(b_n),\ \ \ \ \ \psi(\bigoplus_{n=1}^m c_n)=\bigoplus_{n=1}^m \psi_n(c_n)$$ satisfacer \begin{align} \|\psi\circ\varphi(a)-a\| &\leq\|\psi\circ\varphi(a)-\psi\circ\varphi(a_0)\|+\|\psi\circ\varphi(a_0)-a_0\|+\|a_0-a\|\\ \ \\ &\leq 2\|a_0-a\|+\|\psi\circ\varphi(a_0)-a_0\|<3\varepsilon. \end{align} Haciendo que esto funcione sobre los conjuntos finitos $F\subset \bigoplus_nA_n$ obtenemos net $\{\varphi_F\}$ y $\{\psi_F\}$ tal que $\|\psi_F\circ\varphi_F(a)-a\|\to0$ para todos $a\in \bigoplus_nA_n$ .
En cambio, el producto diret no es nuclear; ni siquiera es exacto. Por ejemplo $M=\prod_n M_n(\mathbb C)$ no es nuclear. Es bien sabido que las álgebras nucleares son exactas y que la exactitud pasa a las subálgebras. La C $^*$ -de $\mathbb F_2$ se sabe que no es exacto, y que es finito residual esto significa que existe una representación fiel $\pi:C^*(\mathbb F_2)\to M=\prod_nM_n(\mathbb C)$ . Así que $M$ no puede ser exacta y, en particular, no es nuclear.
