El resultado que $f$ es estrictamente creciente se cumple para cualquier función continua y no decreciente $\phi$ satisfaciendo $\phi(0)=0$ y $\phi(1)=1$ no sólo para la función Cantor-Lebesgue.
He aquí un ejemplo de que si $\phi$ no es continua, entonces $f$ no tiene por qué ser estrictamente creciente. Sea $\phi(t)=0$ para $t<\frac12\,,$ deje $\phi(t)=t$ para $t>\frac12$ (y que $\phi(\frac12)$ cualquier valor comprendido entre $0$ y $\frac12$ inclusive). A continuación, $f(0)=\frac12=f(\frac12)$ y $f$ es constante $f\equiv\frac12$ en el intervalo $[0,\frac12]$ Así que $f$ no es estrictamente creciente.
Supongamos ahora que $\phi$ es cualquier función continua y no decreciente sobre $[0,1]$ con $\phi(0)=0$ y $\phi(1)=1$ . Demostraremos que $\phi(f(x))=x$ para cada $x\in[0,1]$ . Tenemos $\phi(f(x))\le x$ por continuidad de $\phi$ . En efecto, si $\phi(f(x))>x$ entonces hay algún $\varepsilon>0$ tal que $\phi(f(x)-\varepsilon)>x$ . (Tenga en cuenta que $f(x)>0$ desde $\phi(f(x))>x\ge0=\phi(0)$ .) Si dejamos que $s=f(x)-\varepsilon$ entonces $\phi(s)>x$ Por lo tanto $f(x)\le s$ por la definición de $f(x)$ , obteniendo una contradicción $f(x)\le f(x)-\varepsilon$ . A continuación demostramos que $\phi(f(x))\ge x$ . Si $\phi(f(x))<x$ entonces por continuidad de $\phi$ hay algo de $\varepsilon>0$ tal que $\phi(f(x)+t)<x$ para todos $t\in[f(x),f(x)+\varepsilon)$ , resultando la contradicción $f(x)\ge f(x)+\varepsilon$ (utilizando de nuevo la definición de $f(x)$ ). (Obsérvese que $f(x)<1$ desde $\phi(f(x))<x\le1=\phi(1)$ .)
De ello se deduce que si $0\le a<b\le1$ entonces $0\le f(a)<f(b)\le1$ . De hecho $\phi(f(a))=a<b=\phi(f(b))$ Por lo tanto $f(a)\neq f(b)$ y ya fue demostrado por el OP que $f(a)\le f(b)$ .
El resto de esta respuesta trata específicamente del función Cantor-Lebesgue y trata las preguntas restantes.
$f$ no es continua debido a los segmentos de línea horisontal en la gráfica de $\phi$ . Por ejemplo, si $x<\frac12$ entonces $f(x)<\frac13$ y se ve fácilmente que $\lim\limits_{x\to\frac12^-}f(x)=\frac13\neq f(\frac12)=\frac23$ . Por otra parte, $f$ es continua por la derecha (utilizando la definición de $f(x)$ trabajamos con la desigualdad $\phi(t)\le x$ en lugar de $\phi(t)<x$ ).
La gama de $f$ es un subconjunto del conjunto de Cantor (tercio medio) $C$ . En efecto, si $(p,q)$ es cualquiera de los intervalos del "tercio medio" eliminados en la construcción de $C$ entonces el rango de $f$ echa de menos $[p,q)$ . Tenemos que $p<q$ y $(p,q)\times\{c\}$ es un subconjunto del grafo $G$ de $\phi$ (y $p$ y $q$ son algunas fracciones con denominadores $3^n$ y $c$ es una fracción con denominador $2^n$ ). Entonces $\lim\limits_{x\to c^-}f(x)=p\neq q=f(c)=\lim\limits_{x\to c^+}f(x)$ .
De ello se deduce que $f$ no se puede medir. En efecto, tomemos cualquier conjunto $M\subset[0,1]$ que no se puede medir. Entonces $f(M)\subset C$ por lo que tiene medida $0$ (como subconjunto de la medida $0$ Conjunto de Cantor $C$ ), en particular es mensurable. La función $f$ es $1-1$ (siendo estrictamente creciente), por lo que $M=f^{-1}(f(M))$ demostrando que $f$ no se puede medir.
También se podría dibujar fácilmente la gráfica de $f$ al menos tan fácil como dibujar el gráfico $G$ de la función Cantor-Lebesgue $\phi$ . La función $f$ es "casi" una función inversa de $\phi$ . Obtenemos la gráfica de $f$ mediante los siguientes pasos. (a) reflejar el gráfico $G$ de $\phi$ sobre la diagonal $y=x$ (b) eliminar todos los intervalos verticales que obtengamos de este modo excepto el punto superior (intervalos verticales que resultan de la reflexión sobre $y=x$ de los intervalos horizontales del gráfico $G$ de $\phi$ ).
Aquí hay una imagen (de Wikipedia) del gráfico de la función Cantor-Lebesgue $\phi$ .
![graph of the Cantor-Lebesgue function]()
A continuación se muestra una imagen del gráfico del función Cantor-Lebesgue reflejada sobre la recta $y=x$ .
![graph of the Cantor-Lebesgue function reflected about the diagonal]()
Por último, una imagen del gráfico de $f$ .
![picture of the graph of f]()
