Número divertida teoría problema

Question

Decir $a,b > 2 $ son números enteros. Entonces tenemos que el % no es divisible por $2^a + 1$ $2^b - 1$.

Alguna idea sobre cómo resolver este problema???

Answer 1

Creo que esta es la misma idea como CL, pero el enfoque ligeramente diferente.

Deje $a=qb+r \,;\, 0 \leq r <b$.

El uso de $2^b\equiv 1 \pmod {2^b-1}$ tenemos

$$2^a+1 \equiv (2^b)^q2^r+1 \equiv 2^r+1 \pmod {2^b-1}$$

Es fácil demostrar que para $b>2$ hemos

$$2^{b-1}+2 <2^b$$

pero esto implica que

$$1 \leq 2^r+1 < 2^b-1$$

lo que muestra que

$$ 2^a+1 \neq 0 \pmod {2^b-1}$$

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P. S. al Azar observación: creo que la prueba es el mismo si se sustituye $2$ por cualquier número entero positivo $k\geq 2$. Por lo tanto, si $k \geq 2$ es entero positivo, y $a,b >2$ $k^a+1$ no es divisible por $k^b-1$.

Answer 2

Sugerencia: Si $a>b$,

$$2^a + 1 = (2^{a} - 2^{a-b}) + (2^{a-b} +1).$$

La condición que $a, b >2$ viene cuando estudias el caso base.

$$2^2 - 1 = 2^1 + 1$$

Answer 3

% Toque $\ $aviso que $\rm\ a \equiv c\pmod{b}\:\Rightarrow\:x^a\equiv x^{c}\pmod{x^b\!-1}\ $ desde

$$\rm mod\ x^b\!-1\!:\,\ \color{#C00}{x^b\equiv 1}\:\Rightarrow\:x^a = x^{c+bn} = x^{c} (\color{#C00}{x^b})^n\equiv x^{c} \color{#C00}1^n\equiv x^{c}\quad\ \ $$

Por lo tanto, $\rm\,x = 2\,$ y $\rm\: 0 \le c < b,\:$ $\rm\ c = (a\ mod\ b),\:$ deducimos que

$$\rm mod\ 2^b\!-1\!:\,\ 2^a\! + 1 \equiv 2^{c}\! + 1 < 2^b\!-1\ \ by\ \ \,c< b\ \ and\ hypotheses.$$

Por lo tanto tenemos $\rm\ mod\ 2^b\!-1\!:\,\ 2^a\!+1\not\equiv 0,\ $ por lo tanto, $\rm\, 2^b\!-1\nmid 2^a\!+1.$

Nota $\ $ para un más general perspectiva aquí en secuencias de la divisibilidad.