Relaciones de Serre cuánticas y conmutador trenzado.

Question

Estoy leyendo los apuntes de la clase. En la página 21, se dice que cuando $a_{ij}=-1$, tenemos \begin{align} ad_c(x_i)^{1-a_{ij}}(x_j)=x_i^2x_j - (q+q^{-1})x_ix_jx_i+x_jx_i^2. \quad (1) \end{align} Aquí $ad_c(x_i)(x_j)=x_ix_j - q^{a_{ij}}x_jx_i$. Estoy tratando de verificar $(1)$. Tenemos \begin{align} & ad_c(x_i)^{1-a_{ij}}(x_j)\\ & =ad_c(x_i)^{2}(x_j) \\ & =ad_c(x_i)(x_ix_j - q^{-1}x_jx_i) \\ & = x_i^2 x_j -q^{-1}x_ix_jx_i -q^{-1}( x_ix_j - q^{-1}x_jx_i )x_i \\ & = x_i^2 x_j -2q^{-1}x_ix_jx_i + q^{-2}x_jx_i^2. \end{align> Pero no obtuve $x_i^2x_j - (q+q^{-1})x_ix_jx_i+x_jx_i^2$. No sé dónde cometí un error. Muchas gracias.

Answer 1

Creo que estás cometiendo un error en la cuarta línea de tu cálculo: calculas $-q^{-1}ad_c(x_i)\big(x_j\big)x_i \ $, en lugar de lo correcto: $\ -q^{-1}ad_c(x_i)\big(x_jx_i\big)$. Sin embargo, parece que no afecta el resultado final. Esto es lo que obtengo: \begin{align} & ad_c(x_i)^{1-a_{ij}}(x_j)=\\ & =ad_c(x_i)^{2}(x_j)= \\ & =ad_c(x_i)(x_ix_j - q^{-1}x_jx_i)= \\ & = x_i^2 x_j -q^{-1}x_ix_jx_i -q^{-1}ad_c(x_i)\big(x_jx_i\big)= \\ & = x_i^2 x_j -q^{-1}x_ix_jx_i-q^{-1}\big(x_ix_jx_i-q^{-1}x_jx_i^2\big)= \\ & = x_i^2 x_j -q^{-1}x_ix_jx_i-q^{-1}x_ix_jx_i+q^{-2}x_jx_i^2 = \\ & = x_i^2 x_j -2q^{-1}x_ix_jx_i+q^{-2}x_jx_i^2 \end{align} pero sigue siendo diferente al resultado del papel. Tal vez hay algún error tipográfico en el papel.

Es interesante notar que las dos expresiones $$ x_i^2 x_j -2q^{-1}x_ix_jx_i+q^{-2}x_jx_i^2 $$ y $$ x_i^2x_j - (q+q^{-1})x_ix_jx_i+x_jx_i^2 $$ coinciden si $q=q^{-1}$. (Sin embargo, en tales casos, $q$ suele considerarse no ser una raíz de la unidad).

Espero que eso ayude un poco.

Answer 2

Cuando $a_{ij}=-1$,
\begin{align} & ad_\Psi(x_i)^{1-a_{ij}}(x_j) \\ & = ad_c(x_i)^2(x_j) \\ & = ad_c(x_i)(x_i \otimes x_j - K_i.(x_j) \otimes x_i) \\ & = ad_c(x_i)(x_i \otimes x_j - q^{-1} x_j \otimes x_i) \\ & = x_i \otimes x_i \otimes x_j - K_i.(x_i \otimes x_j) \otimes x_i - q^{-1} ( x_i \otimes x_j \otimes x_i - K_i.(x_j \otimes x_i) \otimes x_i) \\ & = x_i \otimes x_i \otimes x_j - K_i.x_i \otimes K_i.x_j \otimes x_i - q^{-1} ( x_i \otimes x_j \otimes x_i - K_i.x_j \otimes K_i.x_i \otimes x_i) \\ & = x_i \otimes x_i \otimes x_j - q^2 x_i \otimes q^{-1} x_j \otimes x_i - q^{-1} ( x_i \otimes x_j \otimes x_i - q^{-1} x_j \otimes q^2 x_i \otimes x_i) \\ & = x_i \otimes x_i \otimes x_j - q x_i \otimes x_j \otimes x_i - q^{-1} x_i \otimes x_j \otimes x_i + x_j \otimes x_i \otimes x_i \\ & = x_i \otimes x_i \otimes x_j - (q+q^{-1}) x_i \otimes x_j \otimes x_i + x_j \otimes x_i \otimes x_i. \end{align}