¿Dos veces diferenciable implica igualdad de los parciales mixtos?

Question

He visto el siguiente teorema afirmado en varios lugares:

Reclamación: Si una función $f$ de dos variables tiene derivadas parciales $f_x$ y $f_y$ que se definen en una vecindad de $(a,b)$ y también son diferenciables en $(a,b)$ entonces los parciales mixtos son iguales: $f_{xy}= f_{yx}$ .

Se trata de una afirmación más contundente que la que encuentro en la mayoría de los libros de texto y también en Wikipedia que también supone que las segundas derivadas parciales son continuas.

Si la afirmación anterior es cierta, ¿dónde puedo encontrar una prueba de ello? Y si no, ¿cuál es un contraejemplo? (Esto último es básicamente esta pregunta .)

Se indica en la página 201 o 220 (tal vez dependiendo de la edición) de Cálculo avanzado por Angus Taylor, pero no se aporta ninguna prueba.

También lo he encontrado en un periódico de 1908 llamado Sobre los diferenciales por W. H. Young en Proc. LMS, pero no me creo la prueba que da. Utiliza la diferenciabilidad de $f_x$ para demostrar que

$$ \frac{f_x(x+h,y+k) - f_x(x+h,y)}{k} = \frac{h}{k}e + f_{yx} + e' $$

donde $e,e'\to 0$ como $(h,k)\to 0$ y por tanto que el LHS va a $f_{yx}$ como $(h,k)\to 0$ "proporcionado $h/k$ no se convierte en infinito". Del mismo modo, $\frac{f_y(x+h,y+k) - f_y(x,y+k)}{h} \to f_{xy}$ como $(h,k)\to 0$ "proporcionado $k/h$ no se convierte en infinito". A continuación, sigue aproximadamente la prueba habitual de la igualdad de los parciales mixtos, utilizando el teorema del valor medio para demostrar que

$$ \frac{f(x+h,y+k)-f(x+h,y) - f(x,y+k) + f(x,y)}{hk} = \frac{f_y(x+h,y+\theta k) - f_y(x,y+\theta k)}{h} $$

para algunos $0<\theta<1$ y dualmente. Luego dice "si $(h,k)$ se mueve hacia $(0,0)$ de tal forma que $h/k$ no tiene cero como límite, $h/\theta k$ no tendrá cero por límite", de modo que la RHS anterior pasa a $f_{xy}$ y dualmente también a $f_{yx}$ . Pero me parece que $\theta$ depende de $h$ y $k$ así que no hay razón para que no explote como $(h,k)\to 0$ aunque $h/k$ tiene un límite finito distinto de cero. ¿Hay alguna razón por la que esto funcione?

Answer 1

El resultado es correcto. Tenga en cuenta que son no diciendo sólo que las segundas derivadas parciales existen. Están diciendo que el mapa de derivadas $$Df(x,y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\end{bmatrix}$$ es diferenciable en función de $U\to L(\Bbb R^2,\Bbb R)$ donde $U$ es una vecindad de $(a,b)$ y $L(E,F)$ denota el espacio vectorial de mapas lineales de $E$ a $F$ .

Esto implica que la segunda derivada da un mapa bilineal simétrico $\Bbb R^2\times\Bbb R^2\to\Bbb R$ es decir, que los parciales mixtos son iguales.

Así lo demuestra, por ejemplo, el texto en varios volúmenes Análisis de Dieudonné.