derivada de la función de bessel de orden cero de primer orden

Question

Quiero conocer la derivada de la función de bessel de orden cero de primer orden ( $J_0(x)$ ). y cómo cambia con $x$ y también me gustaría saber las raíces de esta función. ¿alguien podría ayudarme?

Answer 1

Recordemos que (como indica Did Abramowitz y Stegun es un recurso excelente) : $$\tag{1}\operatorname{J}_{\nu}(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac {\left(-1\right)^k\left(\frac z2\right)^{2k+\nu}}{\Gamma(k+\nu+1)k!}$$ para que $$\tag{2}\operatorname{J}_0(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac {\left(-1\right)^k\left(\frac z2\right)^{2k}}{\Gamma(k+1)k!}=\sum_{k=0}^\infty \frac {\left(-\frac {z^2}4\right)^k}{k!^2}$$ y (con $j:=k-1$ ) : $$\tag{3}\operatorname{J}_0(z)'=\sum_{k=1}^\infty \frac {\left(-1\right)^k \,k\;\left(\frac z2\right)^{2k-1}}{k!\,k!}=-\sum_{j=0}^\infty \frac {\left(-1\right)^j \;\left(\frac z2\right)^{2j+1}}{\Gamma(j+2)j!}=-\operatorname{J}_1(z)$$

En cuanto a los ceros de $\operatorname{J}_0$ y $\operatorname{J}_1$ están representados en A&S (algunos valores numéricos se muestran en la tabla página 409 ) :

_{(fuente: <a href="http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_359.jpg" rel="nofollow noreferrer">math.sfu.ca </a>)}

Otros recursos útiles son DLMF y los famosos libros de Watson (de libre acceso) :

• Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel
• Los ceros de las funciones de Bessel