GAP WreathProduct con puntos fijos

Question

Gap siempre toma como dominio de un grupo de permutaciones el conjunto de puntos movidos por sus elementos. La documentación de WreathProduct incluye así este comentario en el que se explica cómo se forma el producto corona entre grupos de permutaciones cuyos dominios incluyen puntos fijos:

"Si se desean puntos fijos el producto corona $G \wr T$ debe formarse con un sobregrupo transitivo $T$ de $P$ y luego la preimagen de $P$ bajo la proyección $G \wr T \rightarrow T$ tiene que tomarse".

¿Puede alguien más versado en BPA que yo demostrar cómo hacerlo en la práctica? Por ejemplo Quiero calcular WreathProduct(Group([(1,2)(3)]), Group([(1,2)])) es decir, quiero calcular el producto corona como si el primer grupo tuviera dominio $\{1,2,3\}$ en su lugar $\{1,2\}$ . ¿Cómo lo hago?

Answer 1

Se podría tomar el producto corona de un sobregrupo trasitivo (en tu ejemplo $S_3$ ) por su segundo factor, y luego tome el grupo generado por la imagen de su grupo incrustado $G$ junto con (la imagen de) $T$ :

gap> G:=Group((1,2));;
gap> S:=SymmetricGroup(3);
Sym( [ 1 .. 3 ] )
gap> T:=Group((1,2));;
gap> WS:=WreathProduct(S,T);
Group([ (1,2,3), (1,2), (4,5,6), (4,5), (1,4)(2,5)(3,6) ])
gap> Gemb:=Image(Embedding(WS,1),G);
Group([ (1,2) ])
gap> Temb:=Image(Embedding(WS,3),T);  # 3=1+LargestMovedPoint(T);
Group([ (1,4)(2,5)(3,6) ])
gap> W:=ClosureGroup(Gemb,Temb);
Group([ (1,2), (1,4)(2,5)(3,6) ])
gap> Size(W);
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Se podría hacer de forma análoga si $T$ no es transitiva (aunque entonces se tomarían incrustaciones de $G$ para cada órbita de $T$ .