Si se considera la ecuación de difusión 1-D en coordenadas cartesianas
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\chi\frac{\partial^2u}{\partial x^2},$$
se encuentra que el factor de amplificación para el esquema Crank Nicolson (con diferencias centrales en las derivadas espaciales) es
$$A=\frac{1-2F\sin^2(k\Delta x/2)}{1+2F\sin^2(k\Delta x/2)},$$
donde $F=\chi\Delta t/(\Delta x)^2$ . Lo que significa que este método es incondicionalmente estable, es decir, el método es estable sea cual sea $F$ es.
Consideremos ahora la ecuación en coordenadas cilíndricas con un término fuente:
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\chi\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left[r\frac{\partial u}{\partial r}\right]+S_{ext}$$
con condiciones de contorno $\partial_rT(r=0)=0$ y $T(r=1)=T_a$ .
En $S_{ext}=0$ obtengo que el factor de amplificación viene dado por
$$A=\frac{1-\frac{F}{2}\left[4\sin^2\left(\frac{k\Delta r}{2}\right)-\frac{\sin(k\Delta r)}{q}\right]}{1+\frac{F}{2}\left[4\sin^2\left(\frac{k\Delta r}{2}\right)-\frac{\sin(k\Delta r)}{q}\right]}$$
donde $q$ es el número de célula. No estoy seguro de que este sea el resultado correcto, concretamente me resulta extraño el hecho de que dependa de $q$ . De hecho, para las pequeñas $q$ es fácil ver que $A$ puede llegar a ser mayor que 1 para algunos de los números de onda $k$ e independientemente de $F$ .
Preguntas:
1. ¿Significa esto que el método puede volverse inestable?
2. Cuando onde considera $S_{ext}\neq0$ el mismo resultado para $A$ ¿se aplica?
3. ¿Y qué hay de la precisión en la $S_{ext}\neq0$ caso? Porque he descubierto que, con el aumento $S_{ext}$ la desviación del resultado teórico aumenta mucho antes de alcanzar el estado estacionario.
