¿Por qué este mapa es diagonalizable?

Question

En unas notas de clase sobre Grupos de Reflexión, el autor construye un espacio vectorial basado en un sistema Coxeter. Para cada $s \in S$ donde $(W|S)$ es un sistema Coxeter, llama al vector base relacionado $\alpha_s$ . Construye el espacio vectorial $V$ como sigue: $$V = \bigoplus_{s \in S} \mathbb{R} \alpha_s$$ y asigna la forma bilineal simétrica $B: V \times V \to \mathbb{R}, \;B(\alpha_s,\alpha_t) \mapsto -\cos \frac{\pi}{m_{st}}$ a ella, donde $m_{st}$ es la entrada de la matriz de Coxeter que pertenece a $s, t \in S$ y $\frac{\pi}{\infty} := 0$ . Además, define un mapa $$\sigma: S \to \mathrm{GL}(V) = \mathrm{Aut}(V), \;\; s \mapsto \sigma_s: \lambda \mapsto \lambda - 2B(\lambda,\alpha_s) \alpha_s$$ que, si he entendido bien, asigna a cada $s \in S$ un reflejo $\sigma_s$ en el "hiperplano" (en el sentido de la forma bilineal $B(\cdot, \cdot)$ ) perpendicular al vector base $\alpha_s$ . Si lo introducimos, podemos comprobar que efectivamente $\sigma_s(\lambda)=\lambda$ para $\lambda \in \{\lambda \in V | \; B(\lambda,\alpha_s) = 0\}$ y $\sigma_s(\alpha_s) = -\alpha_s$ .

¿He entendido bien hasta ahora la motivación de estas definiciones/construcciones?

Ahora, de repente, el escritor afirma que $\sigma_s$ es diagonalizable. Sin embargo, en lo que sigue no parece utilizar este hecho.

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo ver fácilmente que este mapa es diagonalizable? La mayoría de las afirmaciones similares a esta en los apuntes de clase se explican al menos brevemente, mientras que esta no, por eso creo que tiene que ser "trivial". Y también, ¿por qué es importante que este mapa sea diagonalizable? A continuación, sólo se demuestra una proposición, que afirma que para $(W,S)$ y el espacio vectorial correspondiente con la forma bilineal anterior, existe un homomorfismo de grupo único $\sigma: W \to O(B)$ con $\sigma(s) = \sigma_s$ para todos $s \in S$ .

Muchas gracias de antemano por cualquier respuesta.

Answer 1

Elija una base de $\{\lambda \in V | \; B(\lambda,\alpha_s) = 0\}$ . Junto con $\alpha_s$ esto le da una base de $V$ que diagonaliza $\sigma_s$ . Esto es una consecuencia directa de las propiedades de $\sigma_s$ que has puesto en la lista.