Equivalencia del operador de Maxwell y del operador de campo eléctrico en el gauge de Coulomb (acoplamiento mínimo y polar).

Question

En la literatura de teoría de campos, encontramos el Hamiltoniano de interacción que acopla una partícula puntual con carga $e$ y masa $m$ al campo electromagnético que se

$$ \hat{H}_\text{int}(t) = - \frac{e}{m} \hat{p}^i(t) \hat{A}_i(t,\boldsymbol{x}) \tag{1}, $$ donde $\hat{p}^i(t)$ es la $i$ operador de momento, y $\hat{A}_i(t,\boldsymbol{x})$ es el campo de Maxwell $i$ en la galga de Coulomb (transversal).

Sin embargo, fuera de la teoría de campos, por ejemplo, en física atómica, encontramos que el Hamiltoniano de interacción es

$$ \hat{H}_\text{int}(t) = - e \hat{x}^i \hat{E}_i(t,\boldsymbol{x}) \tag{2}, $$ donde $\hat{x}^i$ es la $i$ operador de posición, y $\hat{E}_i(t,\boldsymbol{x})$ es el $i$ del operador de campo eléctrico. A menudo, los dos primeros factores se definen como el operador de dipolo eléctrico, $\hat{d}^i=-e\hat{p}^i$ .

Sur Óptica cuántica de Mandel & Wolf, el Hamiltoniano de interacción de la ec. (1) se denomina acoplamiento mínimo mientras que el Hamiltoniano de interacción de la ec. (2) se denomina acoplamiento polar . Además, Mandel y Wolf afirman que existe una transformación unitaria

$$ \hat{U} = \exp\left\{ -ie\hat{x}^i\hat{A}(t,\boldsymbol{x}) \right\} \tag{3} $$

conectando estos dos acoplamientos. En Fotones y átomos - Introducción a la electrodinámica cuántica de Cohen-Tannoudji (p. 253), encontramos algunas ideas más entre la diferencia de los acoplamientos mínimo y polar. En particular, afirma que ambas descripciones son equivalentes y corresponden a condiciones gauge diferentes.

Preguntas

1. ¿Entiendo correctamente que los formalismos polar y mínimo son equivalentes?
2. ¿Existen limitaciones a esta equivalencia, por ejemplo, el acoplamiento de segundo orden $\hat{A}(t,\boldsymbol{x})^2$ ?
3. Me parece que los campos "fundamentales" son diferentes en la descripción mínima y polar, campo de Maxwell, $\hat{A}$ frente al campo eléctrico, $\hat{E}$ . Sin embargo, solemos decir que el campo de Maxwell (o potencial vectorial) no es físico, ya que podemos cambiarlo mediante una transformación gauge. ¿Cómo resolver esta contradicción?

Actualización 1 (11.11.21)

Responder a las reacciones de ACuriousMind

1. ¿Qué hay del argumento Cohen-Tannoudji que parece que ya le parece insuficiente?

Buena observación, la explicación requiere bastante contexto, lo que podría dar lugar a una pregunta aparte (esperaba evitarlo).

En la teoría de la fotodetección, derivamos una relación entre la fotocorriente de un fotodetector, por ejemplo, un fototubo o un fotodiodo, a partir de la interacción átomo-luz. La mayoría de los autores, por ejemplo, Cohen-Tannoudji et. al. en Interacciones átomo-fotón: Proceso básico y aplicaciones Utiliza la interacción de acoplamiento polar, ecuación (2). Mandel y Wolf utilizan la interacción de acoplamiento mínima, ecuación (1).

En ambos casos, encuentran que la fotocorriente media es proporcional a un operador de intensidad. Sin embargo, dependiendo del campo, el operador de intensidad viene dado por el campo de Maxwell o por el campo eléctrico, es decir,

$$ \begin{align} \hat{I}_A(t) &= \hat{A}^{(-)}(t) \hat{A}^{(+)}(t) & \hat{I}_E(t) &= \hat{E}^{(-)}(t) \hat{E}^{(+)}(t) . \tag{4} \end{align} $$

Mandel & Wolf abordan esta cuestión afirmando que están relacionados por $$ \omega_0^2 \hat{I}_A = \hat{I}_E $$ lo mismo en la aproximación de ancho de banda estrecho donde la frecuencia del centro de masa es $\omega_0$ .

Si no invocamos la aproximación del ancho de banda estrecho, obtendremos predicciones diferentes en función de la interacción que hayamos iniciado. ¡Debería ser posible determinar si la fotocorriente depende de la frecuencia de campo para descartar el acoplamiento polar!

2. ¿De dónde saldría semejante acoplamiento? La acción global tiene que ser invariante de la galga.

Dicho acoplamiento suele aparecer cuando acoplamos el momento de una partícula cargada con el campo, es decir,

$$ (p-eA)^2 = p^2 -pA -Ap +e^2A^2 .\tag{5} $$

3. Ninguno de estos campos es "fundamental" en este caso porque no los estás tratando como dinámicos sino como campos de fondo. Pero el potencial vectorial "no físico" aparece como el campo central dinámico/fundamental, por ejemplo, en la formulación lagrangiana clásica de ED. ¿Cuál es exactamente la "contradicción" que ves aquí?

Véase mi comentario a su primera pregunta.

Actualización 2 (13.11.21)

Por lo visto, no me quedó claro lo del operador de fotocorriente. Permítanme tratar de aclarar.

Sur Óptica cuántica de Mandel & Wolf (p. 701), tenemos

que creo que pierde una potencia de dos sobre el $\omega_1$ .

Sur Fotodetección de luz policromática por Kimble & Mandel encontramos la ec. (4):

Se trata de no definiciones pero predicciones . Dependiendo de si empezamos con el acoplamiento mínimo o polar, ec. (1) o ec. (2), ¡la fotocorriente depende de la frecuencia o no!

En el límite cuasimonocromático (aproximación del ancho de banda estrecho) están relacionados por un factor multiplicativo.

En principio, debería ser posible medir la fotocorriente (media) y ver si existe alguna dependencia cuadrática de la frecuencia.

En la práctica, la respuesta en frecuencia de un fotodiodo (sensibilidad o sensibilidad espectral de Google) puede ser mucho mayor que la dependencia en frecuencia entre los operadores de fotocorriente.

Answer 1

Para demostrar que las dos formulaciones son equivalentes, obsérvese que en la galga de Coulomb, $A^0=0$ así que $E_i = \partial_i A_0 - \partial_t A_i = - \dot{A}_i$ .

A continuación, utilizando $p_i = m \dot{x}_i$ y definiendo $H_A$ para ser el hamiloniano escrito en términos de $A$ y $H_E$ el hamilontiano escrito en términos de $E$ tenemos \begin{eqnarray} H_A &=& -\frac{e}{m}p^i A_i \\ &=& -e \dot{x}^i A_i \\ &=& \frac{d}{dt}\left(e x^i A_i\right) + e x^i \dot{A}_i \\ &=& \frac{d}{dt}\left(e x^i A_i\right) - e x^i E_i \\ &=& H_E + \frac{dG}{dt} \end{eqnarray} donde $G\equiv e x^i A_i$ . En otras palabras, los dos Hamiltonianos difieren por una derivada temporal total de las variables "q" en el $x,A$ descripción. Esta derivada temporal total puede eliminarse con una transformación canónica utilizando técnicas estándar.

Si se añade un acoplamiento no mínimo de orden superior, como uno que sea $\sim A^2$ es por supuesto posible, y se podría formular cualquier acoplamiento invariante gauge en términos de $A$ o $E$ y $B$ . Los detalles dependerán del acoplamiento no mínimo.

En cuanto a si $E$ o $A$ es más fundamental, yo diría que se trata de una cuestión de perspectiva y no realmente de física. Por un lado, $E$ está más directamente relacionado con los observables en un laboratorio y es invariante gauge. Por otro lado, es mucho más fácil cuantizar el electromagnetismo en términos del potencial vectorial (de hecho, nunca he visto una cuantización directamente en términos de $E$ y $B$ aunque eso no significa que no exista) y es más fácil entender efectos cuánticos sutiles como el efecto Aaronhov-Bohm y los monopolos magnéticos en términos de $A$ . En general, en teoría de campos, existe una enorme degeneración de descripciones equivalentes relacionadas por redefiniciones de campo por lo que uno aprende a no dar demasiada importancia a ninguna descripción en términos de campos y a centrarse en cantidades observables como el $S$ -que son invariantes bajo tales elecciones.

Tenga en cuenta que si $\partial_t A_i = -E_i$ se podría decir también $E_i = -\int dt A_i$ . Desde $E_i$ es un observable, ¿no hace eso que $A_i$ ¿un observable? ¿Cómo puede ser si $A_i$ ¿es un campo gauge? Bueno, en realidad, $A_i$ es un observable si se fija un calibre completamente. La pega es que cualquier expresión que escribas con $A_i$ en ese calibre será erróneo en cualquier otro calibre. Así que normalmente es mejor sustituir $A_i$ con $E_i$ en cualquier expresión que quieras para representar un observable, entonces tienes una expresión invariante gauge que es verdadera en cualquier gauge. Esto es similar al truco de la RG en el que se elige un sistema de coordenadas, se deduce una relación que se mantiene entre las cantidades en ese sistema de coordenadas y, a continuación, se sustituyen esas cantidades por tensores que son iguales a las cantidades originales en ese sistema de coordenadas, pero que tienen buenas propiedades de transformación bajo cambios de coordenadas. La expresión tensorial resultante tiene que ser verdadera (ya que se reduce al resultado dependiente de las coordenadas que derivaste) pero es válida en cualquier sistema de coordenadas (ya que las relaciones entre tensores son independientes de las coordenadas por diseño).