Función que no es diferenciable en un conjunto de medida cero.

Question

He intentado hacer la siguiente pregunta, pero no he podido llegar a ninguna conclusión. Si alguien puede ofrecer alguna sugerencia, ¡por favor, que lo haga! Se agradece.

Sea $E \subset \mathbb{R}$ sea un conjunto de medida de Lebesgue cero. Demostrar que existe una función definida sobre $\mathbb{R}$ que es continua y creciente en todas partes y que no es diferenciable en cada punto de $E$ .

Answer 1

Por regularidad externa, existe una secuencia anidada de conjuntos abiertos $U_n$ para que $E \subseteq U_n$ y $m(U_n) < 2^{-n}$ . Sea $$f(x) = x + \sum_{n=1}^\infty m(U_n \cap (-\infty, x))$$ Para ver que $f$ es indiferenciable en $E$ Obsérvese que $(f(x+h) - f(x))/h \ge 1 + n$ si $h > 0$ y $(x, x+h) \subseteq U_n$ .