Demostrando que la topología de Zariski con polinomios en $Q[x_1,...,x_n]$ en $\Bbb R^n$ es $T_0$

Question

Estoy considerando la topología Zariski sobre $Q[x_1,...,x_n$ ] como topología sobre $\Bbb R^n$ de modo que un conjunto es Zariski-cerrado si existe un conjunto de polinomios $I$ tal que $V= \{r \in \Bbb R^n | f(r)=0 $ para todos $f \in I \}$

En primer lugar, un espacio topológico es $T_0$ si para distintos $x,y$ tenemos un conjunto abierto que contiene a uno y no al otro, lo que creo que equivale a tener un conjunto cerrado que no contiene a uno y no al otro.

A continuación considero tres casos 1) Si $x,y$ tienen componentes racionales, entonces simplemente tomo un polinomio $f(x)=t-x_i$ para algunos $i$ donde $x_i,y_i$ son diferentes.

2) Si uno de $x,y$ tiene todos los componentes racionales y el otro no , entonces otra vez tomo $f(x)=t-x_i$ para algunos $i$ donde $x_i,y_i$ son diferentes.

3) Si ambos $x,y$ tienen componentes irracionales, estoy atascado. Necesitaría encontrar un polinomio que sea cero para $x$ pero no $y$ (o viceversa), lo que me desconcierta. Agradezco cualquier sugerencia.

Editado para reflejar que esto ha terminado $\Bbb R_n$

Answer 1

Eso no es cierto. De hecho, si $(a_1,\cdots,a_n)$ es un punto cuyas coordenadas son algebraicamente independientes sobre $\Bbb Q$ entonces, por definición, el único conjunto cerrado que lo contiene es el conjunto $\Bbb R^n$ . Por tanto, dos puntos cualesquiera son topológicamente indistinguibles.