Sea $f\colon V \rightarrow W$ y $A$ sea la matriz de $f$ para unas bases determinadas, encontrar $\dim(V), \dim(W), \dim(\text{null}(f))$ y $\dim(\text{im}(f))$

Question

Sea $f\colon V \rightarrow W$ y A sea la matriz de $f$ para ciertas bases, encontrar $\dim(V), \dim(W), \dim(\text{null}(f))$ y $\dim(\text{im}(f))$ . $A$ viene dada por la siguiente matriz:

\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ 15 & 16 & 17 & 18 & 19 \\ \end{bmatrix}

El rango de la matriz es $2$ . Utilizando el hecho de que $\text{rank}(A)=\text{rank}(f)$ y $\text{rank(f)}$ que se define como $\dim(\text{im}(f))$ se deduce que $\dim(\text{im}(f))=2$ .

Ahora no estoy seguro acerca de la dimensión de $V$ y $W$ . ¿Tendría que encontrar necesariamente una base de $V$ para demostrar que $V$ tiene una cierta dimensión o podría simplemente utilizar el hecho de que cualquier $x$ que se inserta en $f$ tiene que tener 5 elementos y por lo tanto $V$ también tiene dimensión $5$ ?

Answer 1

No, no tienes que encontrar una base para determinar las dimensiones. Puesto que la matriz $A$ es un mapa $\mathbb R^5 \to \mathbb R^4$ las dimensiones de $V$ y $W$ son $5$ y $4$ respectivamente.

Suponiendo que el rango de la matriz es $2$ a continuación, puede aplicar el teorema de nulidad de rango para determinar la dimensión del núcleo.