Anillo de coordenadas de un conjunto abierto básico

Question

Sea $V = V(J) \subset k^{n}$ sea una variedad algebraica. Sea $K[V] = K[X_{1},\dots,X_{n}]/(I(V))$ sea su anillo de coordenadas. Para cualquier $f \in K[V]$ el conjunto abierto básico $V_{f} := V-V(f)$ está en correspondencia biyectiva con la variedad algebraica $W := V(I(V),(x_{n+1}f-1)) \subset k^{n+1}$ a través del mapa $$(x_{1},\dots,x_{n}) \longmapsto (x_{1},\dots,x_{n}, \dfrac{1}{f(x_{1},\dots,x_{n})})$$

Mi pregunta es:

Quiero demostrar que el anillo de coordenadas $$K[W] = K[X_{1},\dots,X_{n},X_{n+1}]/(I(V(I(V),(x_{n+1}f-1))))$$ es isomorfo a $K[V][1/f]$ . Sé que $$\dfrac{(K[X_{1},\dots,X_{n}]/I(V))[X_{n+1}]}{(X_{n+1}f-1)} \cong (K[X_{1},\dots,X_{n}]/I(V))[1/f] = K[V][1/f]$$ pero no sé cómo proceder con el lado izquierdo para llegar a $K[W]$ . Para mí, una variedad algebraica es un conjunto algebraico irreducible.

Answer 1

1) Tiene que demostrar que $I = J+(X_{n+1}f-1)$ es primo en $k[X_1,\ldots,x_{n+1}]$ ; equivalentemente, demuestre que $k[X_1,\ldots,X_{n+1}]$ es un dominio integral. Para simplificar, llamaremos $R=k[X_1,\ldots,X_n]$ , $S=k[X_1,\ldots,X_{n+1}]$ .

Por el isomorfismo $A\otimes_R R/J\simeq A/JA$ (aquí $JA$ es la extensión de $J$ en $A$ ) con $A=S/(X_{n+1}f-1)$ obtenemos que

$$\frac{S/(X_{n+1}f-1)}{(J+(X_{n+1}f-1))/(X_{n+1}f-1)}\simeq \frac{S}{(X_{n+1}f-1)}\otimes_R \frac{R}{J}\simeq R[1/f]\otimes_R \frac{R}{J} \simeq \frac{R[1/f]}{J}\simeq (R/J)[1/f]$$

Ahora ya tienes tus resultados: puedes deducirlo de la siguiente manera: observa que $(R/J)[1/f] = (R/J)_f \simeq R_f / J_f$ donde $R_f$ es la localización con respecto a la parte multiplicativa $S=\{f^n:n\in \mathbb{N}\}$ . Dado que el ideal $J$ no se cruza con $S$ el ideal localizado $S^{-1}J =:J_f$ es primo. Por lo tanto $(R/J)[1/f]$ es un dominio y se deduce que $J+(X_{n+1}f-1)$ es un ideal primo.