Las soluciones de viscosidad son la noción "apropiada" de soluciones para ecuaciones elípticas de segundo orden en forma de no divergencia, y para algunas clases de ecuaciones de primer orden. He aquí un breve resumen de por qué.
Desde el punto de vista de las aplicaciones, la solución de la viscosidad es casi siempre la correcta. Por ejemplo, en la teoría del control óptimo, se sabe desde hace tiempo que si la función de valor es suave, satisface una determinada EDP, pero se sabe que el valor no es suave en la mayoría de los casos. Cuando Crandall y Lions inventaron las soluciones de viscosidad, quedó claro de inmediato que la solución de viscosidad es precisamente la función de valor. Esta historia se ha repetido una y otra vez, para muchas aplicaciones diferentes, hasta el punto de que la gente del campo se queda completamente sorprendida y estupefacta cuando hay alguna razón para considerar una noción de solución distinta de la solución de viscosidad.
Desde un punto de vista matemático, las soluciones de viscosidad son naturales. Para las ecuaciones en forma de no divergencia, no se dispone de métodos energéticos. Por lo tanto, lo único que se suele tener es el principio máximo. Las soluciones viscosas son a las soluciones débiles lo que el principio máximo es a los métodos energéticos. El término "solución de viscosidad" es bastante desafortunado en este sentido: deberían llamarse "soluciones de comparación" o algo así. La cuestión es que estas ecuaciones deben satisfacer un principio máximo. Así que tiene sentido definir su solución débil como uno para el que el principio máximo se mantiene cuando se compara a las funciones suaves.
Por último, en los casos en los que hay solapamiento, como para el p-Laplaciano, las soluciones de viscosidad son equivalentes a soluciones débiles (acotadas) en el sentido de integración por partes.
