Ayuda para explicar la solución a un problema de secuencias (suma finita)

Question

El problema es el siguiente:

Una secuencia finita de números enteros de tres cifras tiene la propiedad de que las decenas y las unidades de cada término son, respectivamente, las centenas y las decenas del término siguiente, y las decenas y las unidades del último término son, respectivamente, las centenas y las decenas del primer término. Por ejemplo, una secuencia de este tipo podría empezar con los términos 247, 475 y 756 y terminar con el término 824. Sea $S$ sea la suma de todos los términos de la sucesión. Cuál es el mayor factor primo que siempre divide a $S$ ?

$\mathrm{(A)}\ 3\qquad \mathrm{(B)}\ 7\qquad \mathrm{(C)}\ 13\qquad \mathrm{(D)}\ 37\qquad \mathrm{(E)}\ 43$

Solución:

Un dígito dado aparece como dígito de las centenas, de las decenas y de las unidades de un término el mismo número de veces. Sea $k$ sea la suma de los dígitos de las unidades en todos los términos. Entonces $S=111k=3*37k$ Así que $S$ debe ser divisible por $37\ \mathrm{(D)}$ . Para ver que no necesita ser divisible por ningún primo mayor, la secuencia $123, 231, 312$ da $S=666=2 \cdot 3^2 \cdot 37$ .

No entiendo de dónde sale el "111"; ¿alguien me lo puede explicar?

Answer 1

Si la secuencia se pudiera escribir como $abc$ , $bca$ y $cab$ . Obsérvese cómo la suma podría reescribirse como $aaa$ , $bbb$ y $ccc$ debido a

Una cifra determinada aparece como cifra de las centenas, de las decenas y de las unidades de un término el mismo número de veces.

Para secuencias más largas, sería la misma idea en términos de poder reordenar la suma para que cada término sea el mismo número entero veces 111 que el valor que va a aparecer en cada uno de los tres lugares, el dígito de las unidades, el dígito de las decenas y el dígito de las centenas.