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teoremas límites en teoría de la medida

A partir de la teoría de la probabilidad/teoría de la medida sabemos conjunto de teoremas tales como la Monotonía de convergencia, convergencia dominada o condiciones como la integrabilidad uniforme en la que se aborda la cuestión general de si se intercambian los límites y la integración. En estos casos tenemos medible funciones de fn convergentes a f o medidas de πk convergentes a π y vemos en qué condición por ejemplo, fndπfdπ o fdπkfdπ.

Mi pregunta es ¿qué ocurre si esos dos son mixtos. Es decir, si tenemos funciones medibles fn convergentes a f y las medidas de πk convergentes aπ, entonces ¿qué podemos decir acerca de los límites de fndπn. Un caso particularmente interesante es al fn es implícitamente un funcional de πn, lo que significa que al cambiar la medida de fn va a cambiar demasiado.

He mirado en muchos libros clásicos sobre teoría de la medida y la teoría de la probabilidad (Rudin, Billingsley, Feller, Durrett, Halmos, etc), pero no podía encontrar una respuesta a esto.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

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Una condición suficiente es que πn están delimitadas y convergen a π en la variación total y que fn son continua y uniformemente acotadas (sup). Tenga en cuenta que Scheffé del Lema automáticamente se da la convergencia en la variación total si todos los \pi_n son absolutamente continuas (con respecto a la medida de Lebesgue, o cualquier otro) y la masa de \pi_n converge a la una de la \pi (por ejemplo, que todas ellas son medidas de probabilidad).

En un ambiente dado, tal vez es posible estudiar directamente si la convergencia \lim_{n\to\infty} \int f_n d\pi_k =\int f d\pi_k es uniforme con respecto a k.

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