teoremas límites en teoría de la medida

Question

A partir de la teoría de la probabilidad/teoría de la medida sabemos conjunto de teoremas tales como la Monotonía de convergencia, convergencia dominada o condiciones como la integrabilidad uniforme en la que se aborda la cuestión general de si se intercambian los límites y la integración. En estos casos tenemos medible funciones de $f_n$ convergentes a $f$ o medidas de $\pi_k$ convergentes a $\pi$ y vemos en qué condición por ejemplo, $\int f_n\rm d \pi \to \int f\rm d \pi$ o $\int f\rm d \pi_k\to \int f\rm d \pi$.

Mi pregunta es ¿qué ocurre si esos dos son mixtos. Es decir, si tenemos funciones medibles $f_n$ convergentes a $f$ y las medidas de $\pi_k$ convergentes a$\pi$, entonces ¿qué podemos decir acerca de los límites de $\int f_n\rm d \pi_n$. Un caso particularmente interesante es al $f_n$ es implícitamente un funcional de $\pi_n$, lo que significa que al cambiar la medida de $f_n$ va a cambiar demasiado.

He mirado en muchos libros clásicos sobre teoría de la medida y la teoría de la probabilidad (Rudin, Billingsley, Feller, Durrett, Halmos, etc), pero no podía encontrar una respuesta a esto.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Una condición suficiente es que $\pi_n$ están delimitadas y convergen a $\pi$ en la variación total y que $f_n$ son continua y uniformemente acotadas ($\sup_n \|f_n\|_\infty < \infty$). Tenga en cuenta que Scheffé del Lema automáticamente se da la convergencia en la variación total si todos los $\pi_n$ son absolutamente continuas (con respecto a la medida de Lebesgue, o cualquier otro) y la masa de $\pi_n$ converge a la una de la $\pi$ (por ejemplo, que todas ellas son medidas de probabilidad).

En un ambiente dado, tal vez es posible estudiar directamente si la convergencia $\lim_{n\to\infty} \int f_n d\pi_k =\int f d\pi_k$ es uniforme con respecto a $k$.