A partir de la teoría de la probabilidad/teoría de la medida sabemos conjunto de teoremas tales como la Monotonía de convergencia, convergencia dominada o condiciones como la integrabilidad uniforme en la que se aborda la cuestión general de si se intercambian los límites y la integración. En estos casos tenemos medible funciones de fn convergentes a f o medidas de πk convergentes a π y vemos en qué condición por ejemplo, ∫fndπ→∫fdπ o ∫fdπk→∫fdπ.
Mi pregunta es ¿qué ocurre si esos dos son mixtos. Es decir, si tenemos funciones medibles fn convergentes a f y las medidas de πk convergentes aπ, entonces ¿qué podemos decir acerca de los límites de ∫fndπn. Un caso particularmente interesante es al fn es implícitamente un funcional de πn, lo que significa que al cambiar la medida de fn va a cambiar demasiado.
He mirado en muchos libros clásicos sobre teoría de la medida y la teoría de la probabilidad (Rudin, Billingsley, Feller, Durrett, Halmos, etc), pero no podía encontrar una respuesta a esto.
Cualquier ayuda es muy apreciada.