Las raíces de la ecuación 3x^3-38x^2+cx-192=0 forman una progresión geométrica. Calcula c.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Resolvemos el problema utilizando demasiada maquinaria para una pregunta de concurso que debe resolverse rápidamente.
El siguiente resultado es útil. Sea $r_1$ , $r_2$ y $r_3$ sean las raíces de la ecuación cúbica $x^3+Ax^2+Bx+C=0$ . Entonces (i) $r_1+r_2+r_3=-A$ (ii) $r_1r_2+_2r_3+r_3r_1=B$ y iii) $r_1r_2r_3=-C$ .
Las raíces de nuestro cúbico forman una progresión geométrica de tres términos. Digamos que son $a$ , $ar$ y $ar^2$ . Dividimos los coeficientes de nuestra cúbica por $3$ para que el coeficiente de $x^3$ igual a $1$ . Por tanto, la suma de las raíces es $38/3$ y el producto de las raíces es $192/3=64$ .
Obsérvese que el producto de las raíces es $(a)(ar)(ar^2)$ que es $a^3r^3$ . Así $(ar)^3=64$ . Concluimos que $ar=4$ . (Esto supone que estamos tratando con un
progresión geométrica de real números, que es seguramente lo que se pretende. Si $c$ es real, se puede pruebe que $ar$ no puede ser una de las raíces complejas de $z^3=64$ .)
La suma de las raíces es $38/3$ . Así $a+ar+ar^2=38/3$ . Desde $ar=4$ encontramos que $a+ar^2=26/3$ . Tenemos $a=4/r$ . Sustituye en la ecuación $a+ar^2=26/3$ . Obtenemos $\frac{4}{r} +4r=\frac{26}{3}$ .
Dividir por $2$ multiplique por $3$ y por $r$ y reorganizar. Obtenemos la ecuación $6r^2-13r+6=0$ . Por factorización, o de otra manera, encontramos que $r=2/3$ o $r=3/2$ . Trabajamos con $r=3/2$ . (La otra opción nos da la misma progresión geométrica, escrita al revés). Nuestra progresión geométrica es, por tanto $8/3, 4, 6$ .
De ello se deduce que $r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1=152/3$ y, por lo tanto $c=152$ .
Commenst: Para demostrar el resultado que relaciona los coeficientes con las raíces, obsérvese que si las raíces de $x^3+Ax^2+Bx+C=0$ son $r_1$ , $r_2$ y $r_3$ entonces $x^3+Ax^2+Bx+C$ es el polinomio $(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ . Expande este producto y compara los coeficientes.
Mucho más útil es el hecho de que si $x^2+Ax+B=0$ tiene las raíces $r_1$ y $r_2$ entonces $r_1+r_2=-A$ y $r_1r_2=B$ .
Existen resultados análogos para polinomios de mayor grado.
Añadido: Hay una manera fácil de resolver el problema en una situación de concurso. Adivina que las raíces serán racionales. Entonces, por el Teorema de las Raíces Racionales, las raíces racionales son de la forma $a/b$ donde $a$ y $b$ son números enteros, $a$ divide $192$ y $b$ es un divisor positivo de $3$ . Las raíces no pueden ser todas enteras. Un poco de jugueteo con las posibilidades nos acerca rápidamente a las raíces. Dejamos esto fuera originalmente porque con un pequeño cambio numérico, las raíces ya no serán racionales. El procedimiento que utilizamos en la parte principal funciona en este entorno más general, y vale la pena conocer las ideas.
