73) ¿Cuántos números racionales hay en la expansión del binomio?
$$(\sqrt3+\sqrt[3]2)^{100}$$
Por primera vez resuelvo una pregunta como esta. Mi enfoque:
$$ \left\lbrace\begin{array}{ccccccl} (\sqrt3)^{2m}×(\sqrt[3]2)^{3n}\in \mathbb{Q} \\[1mm] 2m+3n=100 \end{array}\right.\Longrightarrow 2m+3n=100 \Longrightarrow 2m+6k=100 \Longrightarrow m=50-3k,\left\{k0,m0 \right\} \Longrightarrow k=0,1,2,3,..,16 \Longrightarrow 16+1=17 $$
¿Es esta la forma correcta de encontrar la respuesta?
Cada término de $(a+b)^{100}$ es de la forma $C(100,k)*a^{k}*b^{(100-k)}$. En este caso, $k$ deberá ser par y $100-k$ deberá ser un múltiplo de 3.
Así, $k = 2r$ y $100-k = 100-2r = 0 (\mod 3) ==> r = 2 (\mod 3)
A medida que $k$ varía de 0 a 100, $r$ varía de 0 a 50.
Hay 17 valores de $r$ entre 0 y 50 $(2 = 3*0+2, 5 = 3*1+2, ..., 50 = 3*16+2)$.
Por lo tanto, 17 de los 101 términos de la expansión son racionales.
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