Me gustaría entender por qué se dice que el burbujeo de los discos es un fenómeno de co-dimensión 1 y el burbujeo de las esferas un fenómeno de co-dimensión 2.
Respuesta
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Los espacios de módulos de curvas psuedoholomorfas tienen una dimensión esperada asociada, dada por el índice de Fredholm del operador de Cauchy-Riemann apropiado; si se cumple una condición de transversalidad apropiada, entonces el espacio de módulos será (al menos en curvas no multiplicadas) una variedad lisa de dimensión real igual a esta dimensión esperada.
A menudo se desea que el espacio de moduli sea compacto, o al menos que deje de serlo de forma controlada. El teorema de compacidad de Gromov muestra que se puede obtener una compactación del espacio de moduli añadiendo estratos correspondientes a diversas configuraciones combinatorias de burbujas de esfera y también (si se trata de curvas con límite en un submanifold lagrangiano) de burbujas de disco (en género positivo, también hay que tener en cuenta las degeneraciones de la estructura compleja en el dominio). Por ejemplo, si nos fijamos en curvas cerradas de género cero que representan alguna clase homológica A+B, un estrato posible en la compactificación consistiría en pares que comprenden un representante de género cero de A y un representante de género cero de B, con los dos componentes intersectándose en algún punto. Para cualquier estrato de este tipo se puede calcular la dimensión esperada, que una vez más es el índice de algún operador de Fredholm. El lema de que "el burbujeo de esferas es un fenómeno de codimensión dos" expresa el hecho de que los estratos que incluyen burbujas de esferas siempre tendrán una dimensión esperada al menos dos menor que la dimensión esperada del estrato principal. Por otro lado, cuando se consideran compactificaciones de espacios de moduli de discos holomorfos con frontera en un submanifold lagrangiano, algunos estratos que implican burbujas de disco tendrán típicamente una dimensión esperada sólo uno inferior a la del estrato principal.
Por supuesto, normalmente hay que hacer algún trabajo para garantizar que las dimensiones esperadas de todos los estratos coinciden con sus dimensiones reales.
