Una integral definida con con $\mathrm{e}^{\frac{-1}{(1+x)}}$ en términos de la función G de Meijer

Question

Estoy intentando demostrar la siguiente integral definida calculada en Mathematica donde se considera una función G de Meijer

$$ \int_0^\infty\frac{\log(1+x)}{(1+x)^{\kappa+1}} \ \mathrm{e}^{-\frac{1}{(1+x)}} \ \mathrm{d}x = G^{3,0}_{2,3} \left(1 \middle| \begin{array}{c} 1,1 \\ 0,0,\kappa \\ \end{array} \right) - \Gamma(\kappa) \ \psi^{(0)}(\kappa) $$

con la condición de que $(\Re(\kappa)>0)$

Esta igualdad salió de Mathematica, en cuya sintaxis el lado derecho dice

MeijerG[{{}, {1, 1}}, {{0, 0, k}, {}}, 
  1/\[Theta]] + (Log[1/\[Theta]] + Log[\[Theta]])*
  Gamma[k, 1/\[Theta]] - 
    Gamma[k]*(Log[\[Theta]] + PolyGamma[0, k])

Esta pregunta está relacionada con

NB: Esta pregunta es un caso particular de otra más general ( Una integral definida con con $\mathrm{e}^{\frac{-1}{\theta(1+x)}}$ en términos de la función G de Meijer ) donde $\theta=1$ . También está relacionado con: Una integral definida en términos de la función G de Meijer a lo que @Leucippus ha dado una interesante respuesta

Answer 1

no es una respuesta de cómo calcularlo. Pero un comentario.

Tu integeral es, con cambio de variables, $$ \int_1^\infty \frac{\log x}{x^{\kappa+1}}\;\exp\left(\frac{-1}{x}\right)\;dx $$ Pero la integral a partir de $0$ es mucho más fácil $$ \int_0^\infty \frac{\log x}{x^{\kappa+1}}\;\exp\left(\frac{-1}{x}\right)\;dx = -\psi(\kappa)\Gamma(\kappa) $$ por lo que la función G de Meijer es la integral definida $\int_0^1$ . Maple no lo hace utilizando las funciones G de Meijer, sino \begin{align} &\int_0^1 \frac{\log x}{x^{\kappa+1}}\;\exp\left(\frac{-1}{x}\right)\;dx \\&= {\frac {-{\mbox{$_2$F$_2$}(\kappa,\kappa;\,\kappa+1,\kappa+1;\,-1)} \sin \left( \pi\,\kappa \right) +{\kappa}^{2}\Gamma \left( \kappa \right) \left( \pi\,\cos \left( \pi\,\kappa \right) -\sin \left( \pi \,\kappa \right) \psi \left( 1-\kappa \right) \right) }{\sin \left( \pi\,\kappa \right) {\kappa}^{2}}} \end{align} quizá útil al menos cuando $\kappa$ no es un número entero.