Una pregunta que implica el uso de números complejos.

Question

Evalúe $2^{n-1}\left(\cos \theta -\cos(\frac{\pi}{n})\right)\left(\cos \theta -\cos(\frac{2\pi}{n})\right)...\left(\cos \theta -\cos(\frac{(n-1)\pi}{n})\right)$

En la pregunta anterior, los términos $\cos(\frac{\pi}{n}),\cos(\frac{2\pi}{n}),...$ son la parte real de un número complejo dado por $$z=e^{i\frac{k\pi}{n}}$$
donde $k = 1,2,...,n-1 $ .
Si ampliamos el problema anterior, tendríamos que calcular $\Sigma_0^{n-1}\cos(\frac{k\pi}{n}),...$ y también la suma de otros términos. Obviamente no funcionará.
El autor ha dado una pista para resolver la pregunta anterior.
Pista: Utilice la expansión para $\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}$ para resolver el problema.
Literalmente no tengo ni idea de cómo seguir adelante y solucionarlo. No sé de qué manera podemos utilizar la pista para resolver la pregunta, ya que no puedo ver o establecer ninguna conexión clara entre ellos.
Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $z^{2n}=1$ $$\implies z^{2n}-1=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)....(z-z_{2n})$$ donde $z_1,z_2...z_{2n}$ son las raíces de la unidad

Desde $z_k^{2n}=e^{2k\pi i}$ , $$z_k=e^{i(\frac{k\pi}{n})}=\cos\bigg(\frac{k\pi}{n}\bigg)+i\sin\bigg(\frac{k\pi}{n}\bigg)$$

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Observe que

$$z_{2n-k}=\cos\bigg(\frac{(2n-k)\pi}{n}\bigg)+i\sin\bigg(\frac{(2n-k)\pi}{n}\bigg)$$

$$=\cos\bigg(\frac{2n\pi-k\pi}{n}\bigg)+i\sin\bigg(\frac{2n\pi-k\pi}{n}\bigg)$$ $$=\cos\bigg(2\pi-\frac{k\pi}{n}\bigg)+i\sin\bigg(2\pi-\frac{k\pi}{n}\bigg)$$ $$\cos\bigg(\frac{k\pi}{n}\bigg)-i\sin\bigg(\frac{k\pi}{n}\bigg)=\bar{z_k}$$

También, $$z_n=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1$$ y $$z_{2n}=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1$$

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Agrupación de todos los conjugados juntos y luego multiplicando ellos, $$z^{2n}-1=(z-z_1)(z-z_{2n-1})(z-z_2)(z-z_{2n-2})....(z_n)(z_{2n-n})$$ $$=(z-z_1)(z-\bar{z_1})(z-z_2)(z-\bar{z_2})....(z-1)(z+1)$$ $$=\big[z^2-z(z_1+\bar{z_1})+|z_1^2|\big]\big[z^2-z(z_2+\bar{z_2})+|z_2^2|\big]....(z^2-1)$$

Desde $|z_k|^2=1$ y $(z_k+\bar{z_k})=2Re(z_k)=2\cos(\frac{k\pi}{n})$ ,

$$z^{2n}-1=\big[z^2+1-2z\cos\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)\big]\big[z^2+1-2z\cos\bigg(\frac{2\pi}{n}\bigg)\big]....(z^2-1)$$ $$\implies \frac{z^{2n}-1}{z^2-1}=\big[z^2+1-2z\cos\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)\big]\big[z^2+1-2z\cos\bigg(\frac{2\pi}{n}\bigg)\big]....$$

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Dividiendo ambos lados por $z^{n-1}$ , $$\frac{z^n-\frac{1}{z^n}}{z-\frac{1}{z}}=\big[z+\frac{1}{z}-2\cos\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)\big]\big[z+\frac{1}{z}-2\cos\bigg(\frac{2\pi}{n}\bigg)\big]....$$

Sustituyendo $z=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ $\implies \frac{1}{z}=\cos(\theta)-i\sin(\theta)$

También, $z^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ $\implies\frac{1}{z^n}=\cos(n\theta)-i\sin(n\theta)$

$$\implies\frac{z^n-\frac{1}{z^n}}{z-\frac{1}{z}}= \frac{2i\sin(n\theta)}{2i\sin(\theta)}=\bigg[2\cos(\theta)-2\cos\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)\bigg]\bigg[2\cos(\theta)-2\cos\bigg(\frac{2\pi}{n}\bigg)\bigg].....$$ $$\implies 2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}[\cos(\theta)-\cos\big(\frac{k\pi}{n}\big)]=\fbox{$ \frac {sin(n\theta)} {sin(\theta)} $}$$