Todos los campos son dominios ser un dominio no es una propiedad extra que un campo pueda o no tener.
El homomorfismo de Frobenius suele denominarse Endomorfismo de Frobenius ya que " endomorfismo " es un término más específico que significa "mapa de algo hacia sí mismo". Sin embargo, utilizaré aquí "homomorfismo" para evitar confusiones.
Sea $K=\mathbb{F}_p(T)$ El funciones racionales en la variable $T$ sobre el campo $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Es decir, $$K=\mathbb{F}_p(T)=\left\{\,\frac{f}{g}\,\Bigg|\,\,\,f,g\in\mathbb{F}_p[T], g\neq0\right\}.$$ Entonces el homomorfismo de Frobenius $\phi:K\to K$ no es suryectiva, porque (por ejemplo) el elemento $T$ no es a imagen y semejanza de $\phi$ . Esto se debe a que si tuviéramos $\phi(\frac{f}{g})=\frac{f^{\;p}}{g^{\;p}}=T$ para algunos $\frac{f}{g}\in K$ entonces tenemos $p(\deg(f)-\deg(g))=\deg(T)=1$ lo cual es imposible ya que $\deg(f)-\deg(g)$ es un número entero y $1$ no es divisible por $p$ .
Ahora dejemos que $K=\mathbb{F}_p$ . Entonces el homomorfismo de Frobenius $\phi:K\to K$ es suryectivo, porque de hecho es igual al mapa identidad, es decir. $\phi(x)=x$ para todos $x\in K$ . En términos más generales, si $K$ es cualquier campo finito de característica $p$ entonces el homomorfismo de Frobenius es suryectivo, porque (como demostraré más adelante) siempre es inyectivo, y un una función inyectiva de un conjunto finito a sí mismo debe ser suryectiva .
Sin embargo, no es necesario que $K$ sea finito para que el homomorfismo de Frobenius sea suryectivo. Por ejemplo, supongamos que $K=\mathbb{F}_p(T^{\;1/p^\infty})$ . Es decir, $$K=\mathbb{F}_p(T^{\;1/p^\infty})=\mathbb{F}_p(T,\sqrt[p]{T\;},\sqrt[p^2]{T\;},\ldots).$$ Sin duda, se trata de un campo infinito. El homomorfismo de Frobenius $\phi:K\to K$ es suryectiva. Por ejemplo, el elemento $\alpha\in K$ , $$\alpha=\frac{\sqrt[p]{T\;}+2\cdot(\sqrt[p^2]{T\;})^3}{T^{\;2}-5T^{\;p}}$$ es a imagen de $\phi$ porque podemos sustituir todas las apariciones de a $T^{\;p^d}$ con una potencia de $p$ exponente, es decir $$\phi(\beta)=\alpha,\text{ where }\quad\beta=\frac{\sqrt[p^2]{T\;}+2\cdot(\sqrt[p^3]{T\;})^3}{(\sqrt[p]{T\;})^{\;2}-5T}$$ Del mismo modo que con cualquier otro elemento de $K$ . (Tenga en cuenta que $2$ ou $5$ bien podría ser igual a $p$ y, por tanto, igual a $0$ .)
Por cierto, el campo $\mathbb{F}_p(T^{\;1/p^\infty})$ se denomina perfección del campo $\mathbb{F}_p(T)$ . Es un teorema que un campo $K$ de característica $p$ es perfecto si y sólo si el homomorfismo de Frobenius $\phi:K \to K$ es suryectiva, y añadiendo $p^n$ -raíces de cada elemento de $\mathbb{F}_p(T)$ hemos hecho un campo para el que debe ser suryectivo, de ahí el nombre.
Ahora bien, algunos libros (por ejemplo, McCarthy's Extensiones algebraicas de campos ) utilizaban el término "isomorfismo" para referirse a lo que ahora llamamos "monomorfismo" (homomorfismo inyectivo), y cuando querían expresar lo que ahora llamamos "isomorfismo" (homomorfismo biyectivo), decían " en isomorfismo" (ya que onto es sinónimo de suryectivo, y biyectivo = inyectivo + suryectivo).
Si por alguna razón estás utilizando esta terminología más antigua, entonces el homomorfismo de Frobenius para un campo es siempre un "isomorfismo" (es decir, inyectivo). Esto se debe a que, si $K$ es cualquier campo de característica $p$ y $\phi:K\to K$ es el homomorfismo de Frobenius, entonces $$\begin{align*}\phi(\alpha)=\alpha^p=\beta^p=\phi(\beta)&\implies\alpha^p-\beta^p=0\\ &\implies(\alpha-\beta)^p=0\\ & \implies\alpha-\beta=0\\ & \implies\alpha=\beta.\end{align*}$$ De hecho, cualquier homomorfismo de un campo $K$ a un anillo distinto de cero $R$ debe ser inyectiva (¿cuál podría ser su núcleo, como ideal del campo $K$ ?) Tenga en cuenta también que, por el Primer teorema de isomorfismo para anillos tenemos por tanto que cualquier homomorfismo $f:K\to R$ de un campo $K$ a un anillo distinto de cero $R$ es un isomorfismo (en el sentido moderno) sobre el subring de $R$ que es la imagen de $f$ es decir, si descartamos el resto de $R$ y sólo miraba el subring $f(K)$ entonces $f:K\to f(K)$ es un isomorfismo (en el sentido moderno). Esto es lo que Jyrki Lahtonen conjeturó que querías decir más arriba.
Si nos fijamos en cosas que no son dominios (y por tanto no son campos), el homomorfismo de Frobenius no tiene por qué ser inyectivo. Por ejemplo $R=\mathbb{F}_p[x]/(x^p)$ . Es decir, $$R=\mathbb{F}_p[x]/(x^p)=\{a_0+\cdots+a_{p-1}x^{p-1}+(x^p)\mid a_i\in\mathbb{F}_p\}.$$ Entonces, si $\phi:R\to R$ es el homomorfismo de Frobenius, tenemos por ejemplo $x+(x^p)\neq0+(x^p)$ pero $$\phi(x+(x^p))=x^p+(x^p)=0+(x^p)=0^p+(x^p)=\phi(0+(x^p)).$$
Por último, quiero subrayar que el concepto de homomorfismo de Frobenius sólo es aplicable si el campo es de característica $p$ (como todos los ejemplos anteriores). Por ejemplo, $\mathbb{Q}$ es un campo de característica $0$ y para cualquier primo $p$ la función $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ definido por $f(a)=a^p$ no es un homomorfismo (compare $f(2)$ con $2\cdot f(1)$ ).
