Elementos nilpotentes no nulos en $\Bbb C\otimes\Bbb Q[x]/(f)$ ?

Question

Tengo que averiguar si esta afirmación es cierta:

Sea $f\in \mathbb{Q}[x]$ tal que $\gcd(f,f')=1$ entonces en $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}[x]/(f)$ no hay elementos nilpotentes no nulos.

Mi idea es: $\gcd(f,f')=1\implies $ f no tiene factores irreducibles múltiples en $\mathbb{Q}[x]$ pero no sé cómo probarlo $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}[x]/(f)$ es isomorfo con $\mathbb{C}[x]/(f)$ y entonces que f no tiene factores multiples irreducibles incluso en $\mathbb{C}[x]$ . ¿Alguien puede ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

$\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}[x] \cong \mathbb{C}[x]$ se debe al siguiente lema:

Sea $R, S $ sean anillos conmutativos.

Si el $R$ -módulo $M$ es libre con base $\lbrace m_1, \ldots m_k \rbrace$ y existe un homomorfismo de anillos conmutativos $\phi : R \to S$ entonces $M \otimes_R S$ es un $S$ -con base $$\lbrace m_1 \otimes 1, \ldots m_k \otimes 1 \rbrace$$

Esto implica $$R[x] \otimes_R S \cong S[x]$$

Véanse, por ejemplo, las notas de Keith Conrad sobre el producto tensorial

Answer 2

Quieres demostrar $\Bbb C\otimes_{\Bbb Q}\Bbb Q[x]/(f)$ es isomorfo a $\Bbb C[x]/(f)$ . En primer lugar, piensa en mapas entre los dos, luego demuestra que son mutuamente inversos. ¿Cuáles son los mapas más obvios para elegir? Acuérdate, $\otimes$ se supone que funciona como la multiplicación, y puedes multiplicar números complejos con racionales.

Siguiente punto del orden del día, factor $f$ y utilizar el Teorema del Resto Chino para descomponer $\Bbb C[x]/(f)$ .

Los sumandos que obtengas deben tener cada uno el aspecto siguiente $\Bbb C[x]/(x-z)^e$ que es isomorfo a $\Bbb C[\varepsilon](\varepsilon^e)$ que tiene un nilpotente ¿si qué? Una suma directa de anillos tiene un nilpotente si uno de sus sumandos lo tiene; ¿puedes demostrar este sencillo hecho?

Por último, muestre $\gcd(f,f')=1$ si $f$ , $f'$ no comparten raíces si $f$ es separable (sin raíces repetidas).

Existe una buena motivación para involucrar los productos tensoriales con la separabilidad. La equivalencia habitual $L/K$ separable $\Leftrightarrow L\otimes_K\overline{K}$ reducido extiende la noción de separabilidad a extensiones de campos infinitos.