Tasa de cambio cuando la partícula $t = \frac{1}{2}$

Question

Supongamos que la temperatura en un punto $(x, y, z)$ en $R^3$ es $T(x,y.z) = x^2+y^2+z^2$ . Una partícula se mueve de forma que en el tiempo $t$ su ubicación viene dada por $(x,y,z)=(t,t^2,t^3)$ . Hallar que la temperatura en el punto ocupado por la partícula en $t=\frac{1}{2}$ . ¿Cuál es la tasa de cambio de temperatura en la partícula cuando $t=\frac{1}{2}$

Mi enfoque: Pensé en tomar la derivada de $t$ para conseguirlo: $(x, y, z)'=(1, 2t, 3t^2)$ y luego colocando $t=\frac{1}{2}$ que es igual a $(1, 1, \frac{3}{4})$

¿Adónde ir ahora?

Answer 1

Sabiendo que $$\begin{cases} T(x,y,z) &=x^2+y^2+z^2\\ (x,y,z) &= (t,t^2,t^3) \end{cases}$$ se obtiene la temperatura en el momento $t$ a saber

$$\mathcal T(t)=t^2+t^4+t^6.$$ Por lo tanto $\mathcal T\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{25}{64}$ y $\mathcal T^\prime\left(\frac{1}{2}\right)=2t+4t^3+6t^5=\frac{27}{32}$ .