Fórmula Trig para la distancia

Question

He encontrado una fórmula para calcular la distancia al sol para cualquier día del año. La fórmula utiliza la función coseno y estoy incapaz para calcular correctamente las distancias. Me temo que se trata de mi mala comprensión de la fórmula o coseno. Necesito ayuda para determinar dónde están mis errores matemáticos.

Fórmula:
r = a(1-e*e)/(1+e cos())

a = Semieje mayor de la órbita = 149,6 kilómetros
e = la excentricidad de la órbita terrestre es .01672
\= Theta = nº de días desde el último perihelio * 365,25/360

Resuelto para el 22 de mayo de 2002. El perihelio fue el 2 de enero de 2002. (140 días.)
Sé que la respuesta debería estar en torno a los 151 millones de kilómetros para ese día.
Y eso es aproximadamente un 1,3% más que la media de 149,6.

r = 149.6(1-.01672 * .01672) / (1 + e * cos(140 * (365.25/360))

r = 149.6 * (.98328 * .01672) / (1.01672 * cos(140 * (1.01583))

r = 149,6 * (,01644) / (1,01672 * cos(142,2162))

r = 2.459424 / (1.01672 * .79033)

r = 2.459424 / .8035443176

r = 3.0607

???? ¿Dónde está mi malentendido?

Editado/Agregado 16/05/2016:

¡Gran respuesta AugSB! Había pasado por alto la conversión de radianes. Ahora funciona de maravilla. Muchas gracias. Para cualquier otra persona que necesite cálculos similares aquí está la fórmula de Excel desarrollada por AugSB:

\=149.6*(1-(0.01672*0.01672))/(1+(0.01672*COS(B3*(365.25/360)*(PI()/180))))

• donde la columna "B" contiene el número de días transcurridos desde el último perihelio.
  • también hay que señalar que esta fórmula supone que la órbita de la Tierra es un círculo perfecto en el que la Tierra recorre la misma cantidad cada día. En realidad, la órbita es oblonga y se desplaza ligeramente más rápido cuando está más cerca del Sol. Por tanto, estas cifras no son exactas. Se puede utilizar otro método para tener en cuenta la teoría de Kepler, pero está muy por encima de mis conocimientos. La NASA tiene un applet que puede obtener las distancias exactas en el siguiente enlace.

http://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi

Answer 1

Calculaste $(1-e)\cdot e$ en lugar de $1-(e\cdot e)$ . Mientras que este último le da un número cercano a $1$ (porque $e$ cerca de $0$ ), el primero está más cerca de $e$ y, por tanto, a $0$ . Del mismo modo, calculó $(1+e)\cos(θ)$ en lugar de $1+(e\cos(θ))$ .

El resultado, según la fórmula y los datos que has dado, es de 151,54 millones de kilómetros.

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Edita:

He representado la fórmula que has escrito en tu pregunta y parece que la periodicidad de la distancia es demasiado pequeña: Yo diría que el problema es que estás computando $\cos$ con grados en lugar de radianes. Intenta utilizar la siguiente fórmula: $$r = a\cdot\frac{1-e^2}{1+e\cdot\cos\left(t\cdot\frac{365.25}{360}\cdot\frac{\pi}{180}\right)},$$ es decir,

r = a*(1-(e*e))/(1+(e*cos(t*(365.25/360)*(pi/180))))

La trama correspondiente es la siguiente, que parece más probable: