Ecuación del calor con valores iniciales $U(0,t)=U_1$ , $U(L,t)=U_2$ , $\forall t$ .

Question

Mi problema es el siguiente

Temperaturas arbitrarias en los extremos . Si los extremos $x=0$ et $x=L$ de la barra en el texto se mantienen constantes temperaturas $U_1$ y $U_2$ respectivamente, ¿cuál es la temperatura $u_1(x)$ en el bar después de mucho tiempo (en teoría, como $t \to \infty$ )? Primero adivina, luego calcula.

Mi suposición es que la temperatura después de un tiempo muy largo se da como temperatura meadiana. Etc

$$u(x,t) \approx (U_2-U_1)/L, \quad \text{as} \quad t\to \infty$$

Ahora se supone que la temperatura alcanza un límite, que no es improbable, entonces la solución satisfará el laplaciano $\nabla^2u=0$ .

Lo que nos lleva a la ecuación del calor en una variable

$$ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = c^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}x^2} $$

La forma estándar de asumir la solución es de la forma $u(x,t)=X(x)T(t)$ Comience con assuimg que la ecuación diferencial es igual a alguna constante arbitraria $\lambda$ que no depende de $x$ ni $t$ . Entonces termino con el conjunto de ecuaciones

$$\begin{array}{lcr} T' & = & \lambda c^2 T\\ \ddot{X} & = & \lambda X \end{array}$$ Si suponemos por un momento que $\lambda=0$ terminamos con $$X(x) = Ax + B, \qquad T(t)=C$$ Lo que no satisface los valores iniciales. Entonces, ¿qué hago para resolver este bugger?

Answer 1

Sea $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,

Entonces $X(x)T'(t)=c^2X''(x)T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{c^2T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-\dfrac{\pi^2s^2}{L^2}$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=-\dfrac{\pi^2c^2s^2}{L^2}\\X''(x)+\dfrac{\pi^2s^2}{L^2}X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{-\frac{\pi^2c^2ts^2}{L^2}}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)\sin\dfrac{\pi xs}{L}+c_2(s)\cos\dfrac{\pi xs}{L}&\text{when}~s\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,t)=C_1x+C_2+\sum\limits_{s=0}^\infty C_3(s)e^{-\frac{\pi^2c^2ts^2}{L^2}}\sin\dfrac{\pi xs}{L}+\sum\limits_{s=0}^\infty C_4(s)e^{-\frac{\pi^2c^2ts^2}{L^2}}\cos\dfrac{\pi xs}{L}$

$u(0,t)=U_1$ :

$C_2+\sum\limits_{s=0}^\infty C_4(s)e^{-\frac{\pi^2c^2ts^2}{L^2}}=U_1$

$\sum\limits_{s=0}^\infty C_4(s)e^{-\frac{\pi^2c^2ts^2}{L^2}}=U_1-C_2$

$C_4(s)=\begin{cases}U_1-C_2&\text{when}~s=0\\0&\text{when}~s\neq0\end{cases}$

$\therefore u(x,t)=C_1x+C_2+\sum\limits_{s=0}^\infty C_3(s)e^{-\frac{\pi^2c^2ts^2}{L^2}}\sin\dfrac{\pi xs}{L}+U_1-C_2=C_1x+U_1+\sum\limits_{s=1}^\infty C_3(s)e^{-\frac{\pi^2c^2ts^2}{L^2}}\sin\dfrac{\pi xs}{L}$

$u(L,t)=U_2$ :

$C_1L+U_1=U_2$

$C_1=\dfrac{U_2-U_1}{L}$

$\therefore u(x,t)=\dfrac{(U_2-U_1)x}{L}+U_1+\sum\limits_{s=1}^\infty C_3(s)e^{-\frac{\pi^2c^2ts^2}{L^2}}\sin\dfrac{\pi xs}{L}$

Por lo tanto $u(x,\infty)=\dfrac{(U_2-U_1)x}{L}+U_1$