Dada una matriz de forma bilineal, ¿cómo hallamos la función de forma bilineal explícita?

Question

Digamos que nos dan la matriz de una forma bilineal: $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 &-1 \end{bmatrix}$ .

¿Cómo encontramos la forma bilineal explícita de la que procede esta matriz?

Answer 1

Dada una matriz cuadrada $A$ y vectores de entrada $x$ y $y$ se obtiene una forma bilineal calculando $x^TAy$ .

En tu ejemplo, $$\left[\begin{matrix} x_1 & x_2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} y_1 \\ y_2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} x_1 & x_2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}y_1\\ -y_2\end{matrix}\right] = x_1y_1 - x_2y_2$$

En general $2\times 2$ caso, $$\left[\begin{matrix} x_1 & x_2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} a & b\\ c & d\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} y_1 \\ y_2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} x_1 & x_2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}ay_1+by_2\\ cy_1 + dy_2\end{matrix}\right] = ax_1y_1 + bx_1y_2 + cx_2y_1 + dx_2y_2$$