¿Qué haces de principios son localmente triviales?

Question

Si $H$ es un subgrupo cerrado de un grupo topológico $G$ entonces el mapa orbital $G\to G/H$ es un haz principal, aunque, sorprendentemente, no tiene por qué ser localmente trivial. En la wikipedia artículo sobre haces de fibras se afirma que si $H$ es un grupo de Lie, entonces $G\to G/H$ es localmente trivial. ¿Es cierta la afirmación y, en caso afirmativo, cuál es la referencia?

Observaciones:

1. Que $G\to G/H$ es un haz principal se explica, por ejemplo, en "Haces de fibras" de Husemoller, ejemplo 2.4 de la 3ª edición. En la misma sección también se puede encontrar una definición de haz principal (que no requiere trivialidad local).

2. Un ejemplo sencillo cuando $G\to G/H$ no es localmente trivial puede encontrarse en la página papel de Karube [Sobre las secciones transversales locales en grupos localmente compactos, J. Math. Soc. Japan 10 1958 343-347]. En el ejemplo $G$ es el producto de infinitos círculos, y $H$ es el producto de su orden $2$ subgrupos; no puede haber sección transversal porque $G$ está conectada localmente y $H$ no lo es, por lo que $G$ ni siquiera es localmente homeomorfo a $H\times G/H$ .

3. En el mismo artículo, Karube demuestra que $G\to G/H$ es localmente trivial en varios casos, entre ellos cuando $G$ es localmente compacta, y $H$ es un grupo de Lie.

ACTUALIZACIÓN: Si $H$ es un grupo de Lie, el artículo de Palais mencionado en su respuesta en realidad caracteriza el principal $H$ -que son localmente triviales; los detalles están más abajo.

Para un grupo topológico $H$ actuando libremente y por homeomorfismos sobre un espacio $X$ Nosotros que $X^\ast$ sean los subconjuntos de $X\times X$ formado por pares $(x,hx)$ donde $x\in X$ y $h\in H$ . Desde $H$ actúa libremente, existe un mapa $t: X^\ast\to H$ dado por $t(x,hx)=h$ .

El teorema 4.1 del artículo de Palais dice que si el espacio $X$ es completamente regular y si $H$ es un grupo de Lie, entonces la libre $H$ -espacio $X$ es localmente trivial si y sólo si el mapa $t$ es continua.

Obsérvese que en la terminología del libro "Fiber bundles" de Husemoller continuidad de $t$ se asume en la definición de $H$ -principal paquete, por lo tanto Husemoller $H$ -los haces principales son todos localmente triviales (siempre que $H$ es un grupo de Lie y $X$ es completamente regular).

Si $X$ es un grupo topológico y $H$ es un subgrupo, entonces continuidad de $t$ se deduce de la continuidad de la multiplicación y la inversa en $X$ . Es divertido ver por qué el resultado de Palais no muestra que el $\mathbb Z$ -acción sobre $S^1$ por rotación irracional es un haz principal: aquí $X=S^1$ y $H$ es el subgrupo $\{e^{in}: n\in \mathbb Z\}$ con la topología del subespacio. El mapa $t$ es continua, pero $H$ no es un grupo de Lie.

Answer 1

...si $H$ es un grupo de Lie, entonces $G \to G/H$ es localmente trivial. ¿Es cierta la afirmación y, en caso afirmativo, cuál es la referencia?

Sí, es cierto. Véase el Corolario en la sección 4.1 de: "On the Existence of Slices for Actions of Non-compact Lie Groups", que puedes descargar aquí: http://vmm.math.uci.edu/ExistenceOfSlices.pdf

Se trata de un artículo publicado originalmente en marzo de 1961 en Annals of Math.

El Corolario dice que "Si X es un grupo topológico y G es un subgrupo de Lie cerrado de X entonces la fibración de X por cosets izquierdos de G es localmente trivial".